1 . Докажите равенство треугольников ABD и ACD (рис. 48), если AB = AC и BD = CD. 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 40 см, а боковая сторона на 2 см больше основания.
3 . На основании AC равнобедренного треугольника ABC отметили точки D и E так, что AD = CE, точка D лежит между точками A и E. Докажите, что ∠ABD =∠CBE.
4. Известно, что ∠BST =∠AST и ∠STB =∠STA (рис. 49). Докажите, что BK = AK.
5. Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC, перпендикулярна его медиане CM и делит её пополам. Найдите сторону AC, если AB = 18 см.
Объяснение:
1) AD общая
AB=AD
BD=CD
2)BC=x
AB=AC=x+2
P=x+2(x+2)=40
x=12=BC
AB=14
3) тркABD=CBE:
AB=BC
<A=<C
AD=CE
Из этого следует, что <ABD=<CBE
Сначала рассмотрим стороны треугольников: AB и AC. По условию, AB = AC. Это означает, что стороны AB и AC равны между собой.
Теперь рассмотрим стороны треугольников: BD и CD. По условию, BD = CD. Это означает, что стороны BD и CD равны между собой.
Теперь докажем, что углы треугольников ABD и ACD также равны.
В треугольнике ABD рассмотрим угол ABD. В треугольнике ACD рассмотрим угол ACD.
Так как AB = AC и BD = CD (по условию), то по свойству равенства сторон в треугольнике угол ABD равен углу ACD.
Аналогично, посмотрим на угол BDA в треугольнике ABD и угол CDA в треугольнике ACD.
Так как BD = CD (по условию), то по свойству равенства сторон в треугольнике угол BDA равен углу CDA.
Таким образом, мы доказали, что углы треугольников ABD и ACD равны, а стороны AB и AC, BD и CD равны. Следовательно, треугольники ABD и ACD равны.
2. Пусть основание равнобедренного треугольника равно x см, а боковая сторона равна (x+2) см.
Периметр равнобедренного треугольника равен сумме всех его сторон: x + (x+2) + (x+2) = 3x + 4 см.
По условию, периметр равнобедренного треугольника равен 40 см, поэтому 3x + 4 = 40.
Вычтем 4 из обеих сторон уравнения: 3x = 36.
Разделим обе стороны на 3: x = 12.
Таким образом, основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а боковая сторона равна (12+2) = 14 см.
3. Для доказательства ∠ABD = ∠CBE нам необходимо воспользоваться фактом, что AD = CE.
Рассмотрим треугольники ABD и CBE. У нас есть AD = CE (по условию), значит, стороны AD и CE равны.
Теперь рассмотрим углы треугольников. У нас есть AD = CE (по условию). Зная, что AD и CE равны, мы можем сделать вывод, что угол ABD будет равен углу CBE.
Таким образом, мы доказали, что ∠ABD = ∠CBE.
4. Для доказательства BK = AK мы использовали условие, что ∠BST = ∠AST и ∠STB = ∠STA.
Рассмотрим треугольники AST и BST. Используя условия, мы знаем, что ∠BST = ∠AST и ∠STB = ∠STA.
Рассмотрим углы BAT и BAS в треугольнике BAT. Используя условие, мы знаем, что ∠BST = ∠AST, поэтому ∠BAT = ∠BAS.
Таким образом, по свойству равенства углов в треугольнике, у нас есть два равных угла в треугольнике BAT и треугольнике BAS.
Так как у нас есть два равных угла и одна равная сторона - сторона AB, мы можем заключить, что сторона AB является общей стороной для треугольников BAT и BAS.
Следовательно, мы можем сделать вывод, что BK = AK.
5. Пусть сторона AC треугольника ABC равна x см. Также, пусть точка M - середина медианы CM.
Медиана делятся пополам в точке, через которую проведена прямая, перпендикулярная медиане.
Значит, AM = CM/2 = x/2 см.
Из прямоугольного треугольника ABM мы можем использовать теорему Пифагора, так как у нас есть две известные стороны: AB = 18 см и AM = x/2 см.
AB^2 = AM^2 + BM^2.
18^2 = (x/2)^2 + BM^2.
324 = x^2/4 + BM^2.
Перенесем x^2/4 на другую сторону уравнения: BM^2 = 324 - x^2/4.
Теперь посмотрим на треугольник BCM, который является прямоугольным треугольником.
BC^2 = BM^2 + CM^2.
BC^2 = 324 - x^2/4 + (x/2)^2.
BC^2 = 324 - x^2/4 + x^2/4.
BC^2 = 324.
Так как треугольник ABC является равнобедренным треугольником, стороны BC и AC равны между собой, то есть BC = AC.
BC^2 = AC^2.
324 = AC^2.
AC = √(324).
AC = 18 см.
Таким образом, сторона AC равна 18 см.