1. Гранями выпуклого многогранника являются только
четырехугольники. Сколько у него вершин и граней, если число
ребер равно 12? Нарисуйте такой многогранник.
2.
2. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре
ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число равно
12? Нарисуйте такой многогранник.
3.
3. Гранями многогранника являются двенадцать правильных
пятиугольников, и в каждой вершине сходится три ребра. Сколько у
него вершин и ребер? Приведите пример такого многогранника.
4. Докажите, что у любого выпуклого многогранника найдется
треугольная, четырехугольная или пятиугольная грань.
5. Докажите, что у любого выпуклого многогранника найдется
трехгранный, четырехгранный или пятигранный угол.
6. Можно ли четыре домика соединить непересекающимися
дорожками с четырьмя колодцами так, чтобы каждый домик был
соединен с тремя колодцами и каждый колос_ с тремя
домиками?
У четырехгранника всего 4 грани.
Чтобы определить количество вершин, воспользуемся формулой Эйлера для многогранников:
"количество вершин + количество граней = количество ребер + 2".
Подставим известные значения:
количество граней = 4,
количество ребер = 12.
Получим уравнение:
количество вершин + 4 = 12 + 2.
Решим его:
количество вершин = 12 + 2 - 4.
количество вершин = 10.
Итак, у данного многогранника 10 вершин и 4 грани.
2. Дано, что в каждой вершине сходится по 4 ребра. Допустим, у многогранника есть V вершин. Так как в каждой вершине сходится 4 ребра, то общее количество ребер равно 4V/2 = 2V (поскольку каждое ребро присоединено к двум вершинам).
По формуле Эйлера "количество вершин + количество граней = количество ребер + 2" имеем уравнение:
V + количество граней = 2V + 2.
Решим его:
количество граней = 2V - V + 2.
количество граней = V + 2.
Таким образом, у многогранника имеется V вершин и V+2 грани.
3. Дано, что гранями многогранника являются двенадцать правильных пятиугольников и в каждой вершине сходится три ребра.
Поскольку в каждой вершине сходятся три ребра, общее количество ребер равно 3V/2 (поскольку каждое ребро присоединено к двум вершинам).
Используем формулу Эйлера "количество вершин + количество граней = количество ребер + 2":
V + 12 = 3V/2 + 2.
Упростим выражение:
2V + 24 = 3V + 4.
V = 20.
Таким образом, у многогранника 20 вершин и 30 ребер.
Примером такого многогранника может быть икосаэдр (20-гранник).
4. Для доказательства этого факта воспользуемся методом от противного.
Предположим, что у выпуклого многогранника все грани имеют шесть или более сторон. Тогда сумма всех углов каждой грани будет больше 720 градусов (так как сумма углов = (количество сторон - 2) * 180 градусов, и при шести сторонах сумма углов = (6-2) * 180 = 720 градусов).
Однако, сумма углов в любом многограннике всегда равна 360 градусов (так как в каждой вершине сходится не более двух граней).
Таким образом, предположение неверно, а значит у любого выпуклого многогранника найдется грань с меньшим количеством сторон.
5. Для доказательства этого факта вновь воспользуемся методом от противного.
Предположим, что у выпуклого многогранника все углы являются шестиугольными или более. Тогда сумма всех углов многогранника будет больше 720 градусов (так как сумма углов в многограннике с шестиугольными углами равна (количество углов - 2) * 180 градусов, и при шестиугольниках сумма углов = (6-2) * 180 = 720 градусов).
Однако, сумма всех углов в любом многограннике всегда равна 360 градусов (так как каждый угол многогранника равен 180 градусов).
Таким образом, предположение неверно, а значит у любого выпуклого многогранника найдется угол с меньшим количеством сторон.
6. Нет, четыре домика нельзя соединить непересекающимися дорожками с четырьмя колодцами так, чтобы каждый домик был соединен с тремя колодцами и каждый колодец был соединен с тремя домиками.
Докажем это от противного. Предположим, что такое соединение возможно.
У каждого домика, за исключением одного, существуют 3 соединения с колодцами. Значит, суммарно должно быть соединено 3 * 4 = 12 дорожек с колодцами. Однако, если каждая дорожка соединяется только двумя вершинами (домиком и колодцем), то суммарно должно быть всего 12/2 = 6 вершин, а не 4, как в условии. Следовательно, такое соединение невозможно.