Поместим заданные точки в прямоугольную систему координат Точкой А в начало, АД по оси Ох, АВ по оси Оу.
А(0;0;0), S(0; 0; 4), С(8;8;0), О(0; 4; 0).
Определяем уравнение плоскости ASC по трём точкам.
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Тогда уравнение плоскости определяется из выражения: (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек, получаем в виде Ax + By + Cz + D = 0:
32x - 32y + 0z + 0 = 0, или, сократив на 32: х - у = 0. А = 1, В = -1.
Переходим к вектору SO.
Его координаты: (0-0=0; 4-0=4; 0-4 = -4). SO(0; 4; -4).
Находим скалярное произведение SO на ASC: 0*1 + 4*(-1) + 0*(-4) = -4.
1) Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 5t + t³ - 1.
Скорость точки - первая производная от x(t)
v(t) = x'(t) = (5t + t³ - 1)' = 5 + 3t²
t = 1 с ⇒ v(1) = 5 + 3*1² = 5 + 3 = 8 м/с
Ускорение точки - первая производная от скорости v(t)
a(t) = v'(t) = (5 + 3t²)' = 6t
t = 1 c ⇒ a(1) = 6*1 = 6 м/с²
ответ: v(1) = 8 м/с ; a(1) = 6 м/с²
2.а) y= x³/3 - 5/2 x² + 6x + 10 = x³/3 - 2,5x² + 6x + 10; на отрезке [0;1]
Сначала найдем точки экстремумов функции через первую производную.
y' = (x³/3 - 2,5x² + 6x + 10)' = (x³/3)' - (2,5x²)' + (6x)' + (10)'
y' = x² - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2) = 0
Точки экстремумов x₁ = 3 и x₂ = 2 в заданный интервал [0; 1] не входят.
Тогда значения функции на границах интервала
y (0) = 0³/3 - 2,5 * 0² + 6*0 + 10 = 10
y (1) = 1³/3 - 2,5 * 1² + 6* 1 + 10 = 1/3 - 2,5 + 16 = 13 5/6
ответ : наименьшее значение функции y(0) = 10;
наибольшее значение функции y (1) = 13 5/6
2.б) y= cosx - √3 sinx; на отрезке [-π; 0]
y = cos x - √3 sin x = 2*(1/2 * cos x - √3/2 * sin x) =
= 2*(sin (π/6) * cos x - cos (π/6) * sin x)
y = 2 * sin ( π/6 - x)
Функция sin α имеет наибольшее значение 1 в точке α = π/2 + 2πn
π/6 - x = π/2 + 2πn ⇔ x = π/6 - π/2 - 2πn = -π/3 - 2πn
x₁ = -π/3 - точка максимума, входит в интервал [-π; 0]
Функция sin α имеет наименьшее значение -1 в точке α = -π/2 + 2πk
π/6 - x = -π/2 + 2πk ⇔ x = π/6 + π/2 - 2πk = 2π/3 - 2πk
x₂ = 2π/3 - 2π = -4π/3 - точка минимума не входит в интервал [-π; 0]
Значения на границах интервала
x = -π; y = 2 * sin ( π/6 - (-π)) = 2 * (- sin (π/6)) = -2 * 1/2 = -1
x = 0; y = 2 * sin ( π/6 - 0) = 2 * 1/2 = 1
Наибольшее значение функции на интервале [-π; 0] в точке максимума
y (-π/3) = 2 * sin (π/6 - (-π/3)) = 2 * sin (π/2) = 2
Наименьшее значение функции на границе интервала y (-π) = -1
ответ: наибольшее значение y(-π/3) = 2
наименьшее значение функции y (-π) = -1
Поместим заданные точки в прямоугольную систему координат Точкой А в начало, АД по оси Ох, АВ по оси Оу.
А(0;0;0), S(0; 0; 4), С(8;8;0), О(0; 4; 0).
Определяем уравнение плоскости ASC по трём точкам.
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Тогда уравнение плоскости определяется из выражения: (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек, получаем в виде Ax + By + Cz + D = 0:
32x - 32y + 0z + 0 = 0, или, сократив на 32: х - у = 0. А = 1, В = -1.
Переходим к вектору SO.
Его координаты: (0-0=0; 4-0=4; 0-4 = -4). SO(0; 4; -4).
Находим скалярное произведение SO на ASC: 0*1 + 4*(-1) + 0*(-4) = -4.
Длины векторов: |SO| = √(0² + 4² + (-4)²) = √32 = 4√2.
Нормального вектора плоскости |ASC| = √(1² + (-1)² + (0)²) = √2.
Теперь можно перейти к ответу.
sina = |-4|/(4√2*√2) = 1/2. а = 30 градусов.
ответ: угол между прямой SO и плоскостью ASC равен 30°.