1. Используя данные, приведенные на рисунке 1, укажите верные утверждения:
1) ΔАВС - прямоугольный.
2) ΔАВС - равнобедренный.
3) ∠1 - внешний угол треугольника АВС.
4) ∠2 - внешний угол треугольника АВС.

2. АМ - биссектриса прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника АВС.
Найдите углы треугольника АВМ.

3. Докажите, что если на рисунке 2 DA и FВ - перпендикуляры к прямой АВ, а отрезки
ВDиАF равны, то ΔАВD = ΔВАF.

4. Прямая, параллельная основанию ВС равнобедренного треугольника АВС, пересекает
стороны АВ и АС в точках М и К. Найдите ∠МАКи ∠АКМ, если ∠В = 52°.

5. В равнобедренном треугольнике DЕС с основанием СD медианы СМ и DН
пересекаются в точке А. Докажите, что треугольник DАС - также равнобедренный.

К каждой задаче сделайте РИСУНОК, запишите СОКРАЩЕННОЕ УСЛОВИЕ.
При решении каждой задачи необходимо ПИСЬМЕННО АРГУМЕНТИРОВАТЬ ШАГИ РЕШЕНИЯ
УКАЗЫВАТЬ ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ФАКТЫ, УТВЕРЖДЕНИЯ, ФОРМУЛЫ, АКСИОМЫ, ТЕОРЕМЫ.
Рисунки и записи должны быть разборчивыми.
В конце решения каждой задачи должен быть ОТВЕТ.

Вариант 1.

1.

Для начала найдём один из отрезков, полученным, делением гипотенузы высотою: отрезок BD.

Так как это высота, то отрезок образует 2 прямых угла: <BDA; <ADC.

Тоесть образуется 2 прямоугольных треугольника: ΔBDA; ΔADC.

По теореме Пифагора — BC равен:

Чтобы найти всю гипотенузу BC — вычислим оставшийся отрезок DC.

Для этого нам нужна одна из формул вычисления высоты прямоугольного треугольника:

DC = 9; BD = 16 => BC = 9+16 = 25см.

По теореме Пифагора, AC равен:

Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, то есть:

Вывод: AC = 21.9см; cos(<C) = 0.876.

2.

Для начала найдём оставшийся стороны паралеллограмма: BD & AD, которые друг другу равны.

Так как BD — перпендикулярен стороне AD — то он образует прямой угол с этой сторон, тоесть: ΔADB — прямоугольный.

Формула вычисления стороны BD, зная угол A, и гипотенузу AB:

Осталось найти сторону AD (по теореме Пифагора), на которой проведена высота BD, чтобы потом найти площадь:

Теперь, формула вычисления площад параллелограмма такова:

Вывод: S = 71.1см².

12 см

Объяснение:

1) Острый угол, составляющий 2/3 прямого угла, равен:

90 · 2/3 = 60°.

2) Второй острый угол прямоугольного треугольника равен:

180 - 90 - 60 = 30°.

3) Меньший катет лежит против меньшего угла, то есть против угла 30°.

Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

Пусть х - меньший катет прямоугольного треугольника, тогда гипотенуза равна 2х. Составим уравнение и найдём х:

х + 2х = 18

3х = 18

х = 18 : 3 = 6 см - это длина меньшего катета.

4) Находим длину гипотенузы:

6 · 2 = 12 см

ответ: 12 см