1. Из точки M, не принадлежащей плоскости, провести две наклонные MA и MB и
перпендикуляр МО.
Сделать чертеж и ответить на вопросы чертежу:
1) Какая точка является проекцией точки М?
2) Назовите отрезок, который равен расстоянию от точки M до плоскости?
3) Если MA=9см, а МВ=12см, то проекция которой наклонной будет больше?
Обозначим данный треугольник АВК, угол В=90°.
Осью симметрии равнобедренного прямоугольного треугольника является высота, проведенная к гипотенузе. В данном случае она же - высота конуса и равна радиусу его основания, так как является еще медианой. ( свойство),
Центральный угол АОС равен дуге, на которую опирается, т.е. 90°.
Хорда АС является основанием равнобедренного прямоугольного треугольника АОС с катетами, равными радиусу конуса.
Плоскость АВС и плоскость основания конуса образуют двугранный угол, который измеряется величиной его линейного угла.
Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру.
Проведем высоту ОМ ( она же медиана) ∆ АОС.
ОМ⊥АС. По т. о 3-х перпендикулярах наклонная ВМ⊥АС.
Угол ВМО - искомый.
Примем радиус и высоту конуса равными а. Высота ВО конуса перпендикулярна основанию, следовательно, перпендикулярна любой прямой, проходящей в плоскости основания через О .
∆ ВОМ - прямоугольный.
В ∆ АОС медиана ОМ равна АМ, т.е. половине АС ( свойство медианы).⇒
∆ АОМ равнобедренный прямоугольный, его острые углы равны 45°
ОМ=ОА•sin45°=a•√2/2.
tg∠ВМО=ВО:МО=(а:(а√2:2)=√2
Если требуется выразить его в градусах, угол ВМО=54°44'
Точка А лежит внутри угла, равного 60°. Расстояния от точки А до сторон угла равны a и b. Найдите расстояние от точки А до вершины угла.
Расстояние от точки до прямой равно длине отрезка, проведенного перпендикулярно от точки к прямой.
Обозначим вершину угла В , расстояние от А до одной стороны АС=а, расстояние до другой стороны АD=b.
Сумма ∠С+∠D=2•90°=180°
Сумма углов четырехугольника 360°. ⇒∠ В+∡А=180°
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, его можно вписать в окружность.
Опишем эту окружность. Искомое расстояние - её диаметр, т.к. на АВ опираются вписанные углы, равные 90°
Соединим С и D.
Вершины ∆ АСD лежат на окружности, он - вписан в эту окружность.
Диаметр описанной около треугольника окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла.
Угол САD=180°-60°=120°
По т.косинусов СD²=AC²+AD²-2•AC•AD•cos120°
CD²=a²+b²-2ab•(-1/2)=a²+b²+ab
По т.синусов АВ=2R=CD:sin120°