№1) Изобразите прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Выпишите и отметьте на рисунке:

а) Пару равных векторов
б) Пару коллинеарных противоположно направленных векторов
в) Пару ортогональных (перпендикулярных) векторов
г) Тройку компланарных векторов
№2
Заданы векторы:a(2;m;-3)и b(1;-1;5)
Существует ли такое значение m, при котором:

а) Эти векторы коллинеарны

б) Угол между этими векторами – прямой ( ).

Если да, то найдите это значение для каждого из случаев. Запишите полное решение, используя условие коллинеарности и условие ортогональности (перпендикулярности) векторов.

№3)
Задан куб ABCDA1B1C1D1 с ребро единичной длины. Точка M – середина ребра BB1.

а) Изобразите это куб, а также систему координат, поместив её начало в точку B. Укажите координаты точек A, M, D и B1
б) Найдите расстояние между точками A и М, используя формулу расстояния между точками в пространстве
в) Найдите косинус угла между указанными векторами cos(AM;B1D)

Так как не указано, какая сторона является основанием параллелограмма, то возможны 2 решения:
1) Основание - 8 см, боковая сторона - 6 см,
     Высота равна 6*sin 60° = 6*√3 / 2 = 3√3.
     Проекция боковой стороны на основание равна 6*cos 60° = 6*(1/2) = 3 cм.
Большая диагональ равна √((8+3)²+(3√3)²) =√(121+27) = √148 = 2√37.
2) Основание - 6 см, боковая сторона - 8 см,
     Высота равна 8*sin 60° = 8*√3 / 2 = 4√3.
     Проекция боковой стороны на основание равна 8*cos 60° = 8*(1/2) = 4 cм.
Большая диагональ равна √((6+4)²+(4√3)²) =√(100+48) = √148 = 2√37.

1. Построим отрезки АВ и МР. Рассмотрим получившийся треуг-ик MNP. По условию точки А и В - середины сторон MN и NP. Значит, АВ - средняя линия треугольника MNP, следовательно, она параллельна его основанию РМ:
AB II РМ.
2. Проведем отрезок EF. Рассмотрим треугольники EKF и РКМ. Они подобны по второму признаку подобия треуг-ов: две стороны одного треуг-ка пропорциональны двум сторонам другого треуг-ка и углы, заключенные между этими сторонами, равны. В нашем случае:
- КЕ : КР = 1 : 3 (откуда взялось 3: КР=КЕ+ЕР=1 часть + 2 части=3 части);
- KF : KM = 1 : 3 (точно также КМ=KF+FM=1 часть+2 части=3 части);
- угол К, заключенный между пропорциональными сторонами, - общий.
У подобных треугольников соответственные углы равны: <EFK=<PMK
3. Рассмотрим эти углы. Это соответственные углы при пересечении двух прямых EF и PM секущей КМ. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Т.е.
EF II PM.
4. Выше мы вывели, что РМ II AB, значит EF II АВ. 
Итак, мы доказали, что две стороны четырехугольника ABEF параллельны.
5. Построим отрезок NK. Рассмотрим треугольники NMK и NPK. Здесь ни AF, ни BE не будут являться средними линиями этих треугольников, поскольку точка F не является серединой стороны КМ, так же, как и точка Е - не середина стороны РК. Значит, они непараллельны основанию KN, которое является общим для обоих треугольников. Они непараллельны и между собой. 
В итоге мы получаем, что четырехугольник ABEF имеет две параллельные стороны и две непараллельные стороны. Значит это - трапеция.