1.Катеты прямоугольного треугольника 14дм и 48дм. Перпендикуляр к плоскости треугольника, восстановленный из вершины прямого угла, равен 60дм.
Найти расстояние от концов перпендикуляра до центра окружности, описанной около данного треугольника.
2.Из точки взятой вне плоскости, проведены к плоскости α перпендикуляр и наклонные. Одна из наклонных равна 12см и образует с перпендикуляром угол в 60º.
Найти проекции этих наклонных, если вторая наклонная имеет длину 10см.
Дано:
- Катеты прямоугольного треугольника: 14 дм и 48 дм.
- Перпендикуляр к плоскости треугольника, восстановленный из вершины прямого угла: 60 дм.
Найти:
- Расстояние от концов перпендикуляра до центра окружности, описанной около данного треугольника.
Решение:
Для начала, построим прямоугольный треугольник и перпендикуляр к плоскости треугольника:
А
/|
/ |
/ |
/___|
C B
^
| |\
| | \
|60дм | \
| | \
|______|____\
M N P
Где A, B, C - вершины треугольника, M и N - точки, в которых перпендикуляр пересекает катеты AB и AC соответственно, P - центр окружности, описанной около треугольника.
1. Найдем длины отрезков AB и AC, используя теорему Пифагора:
AB = √(BC^2 + AC^2) = √(14^2 + 48^2) = √(196 + 2304) = √2500 = 50 дм.
AC = √(AB^2 + BC^2) = √(50^2 + 14^2) = √(2500 + 196) = √(2696) ≈ 51.93 дм.
2. Найдем длину перпендикуляра BC, используя связь между радиусом R окружности, описанной около треугольника, и длинами сторон треугольника:
BC = 2R = 2 * 60 дм = 120 дм.
3. Найдем промежуточные размеры M и N:
M = (AC^2 - BC^2) / (2 * AC) = (51.93^2 - 120^2) / (2 * 51.93) ≈ (-8863.13) / 103.86 ≈ (-85.25) дм ≈ 85.25 дм (отрицательный результат не имеет физического смысла)
N = (AB^2 - BC^2) / (2 * AB) = (50^2 - 120^2) / (2 * 50) ≈ (-11000) / 100 ≈ (-110) дм ≈ 110 дм (отрицательный результат не имеет физического смысла)
4. Найдем длину отрезка MN:
MN = |M - N| = |85.25 - 110| = |24.75| = 24.75 дм.
5. Найдем расстояние от концов перпендикуляра до центра окружности (то есть половину длины отрезка MN):
Расстояние = MN / 2 = 24.75 / 2 = 12.375 дм.
Ответ: Расстояние от концов перпендикуляра до центра окружности, описанной около данного треугольника, составляет 12.375 дм.
Задача 2:
Дано:
- Из точки взятой вне плоскости проведены к плоскости α перпендикуляр и наклонные.
- Одна из наклонных равна 12 см и образует с перпендикуляром угол в 60º.
- Вторая наклонная имеет длину 10 см.
Найти:
- Проекции этих наклонных.
Решение:
С
|\
| \
| \
| \
|60º\
| \ D
|_____\____\
P P' α
Где P и P' - проекции на плоскость α точек, в которых перпендикуляр и наклонные пересекают плоскость α соответственно, C - точка, в которой проведена перпендикуляр из точки вне плоскости, D - точка на наклонной AP.
1. Проекции наклонных на плоскость α равны длинам самих наклонных.
P'C = 12 см
PD = 10 см
2. Найдем точку P - проекцию перпендикуляра на плоскость α. Она будет находиться на прямой, проходящей через C и перпендикулярно плоскости α.
CP и P'P - высоты равнобедренного треугольника P'CP, и их длины будут равны.
P'P = CP = 12 см.
3. Для нахождения проекции наклонной на плоскость α нужно найти длину отрезка PP'.
PD = DP + P'P = DP + CP = DP + 12 см.
4. Найдем длину отрезка DP, используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике PCD:
sin(60º) = PD / DP
0.866 ≈ 10 / DP
DP ≈ 10 / 0.866 ≈ 11.547 см.
5. Найдем длину отрезка PP' (или CP), используя теорему Пифагора в треугольнике CCP':
(CP)^2 = (CC')^2 + (P'P)^2
(12 см)^2 = (PD + DP)^2 + (12 см)^2
144 см^2 ≈ (10 см + 11.547 см)^2 + 144 см^2
144 см^2 ≈ (21.547 см)^2 + 144 см^2
144 см^2 ≈ 463.94 см^2 (проверка выполнения теоремы Пифагора)
6. Найдем длину отрезка PP':
PP' = CP = √(144 см^2 - 144 см^2) ≈ √(0) ≈ 0 см.
7. Найдем проекцию наклонной на плоскость α:
PD = DP + PP' (определение PP')
10 см = 11.547 см + 0 см.
Ответ: Проекция первой наклонной равна 12 см. Проекция второй наклонной равна 11.547 см.