1. Контрольная работа по геометрии 7 класс. КА-5.

Вариант А1.
1. В треугольнике АВС ∠А = 70°, ∠С = 55°.
а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите его основание.
б) Отрезок ВМ — высота данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол АВС.
2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них
а) Докажите, что △АОС = △BOD.
б) Найдите ∠OAC, если ∠ODB = 20°, ∠AOC = 115°.
3. В равнобедренном треугольнике с периметром 64 см одна из сторон равна 16 см. Найдите длину боковой стороны треугольника.

Показать ответ

Ответ:

янннак

25.06.2021 17:06

1. По т. Пифагора найдем гипотенузу треугольника:
ВС=√(36+64)=10.
По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной из прямого угла: СК/АС=АС/ВС (каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией данного катета на гипотенузу)⇒СК=АС²/ВС=64/10=6,4.ВК=ВС-СК=10-6,4=3,6. АК из ΔАКС:
АК=√(АС²-КС²)=√(64-40,96)=4,8.
2. Примем единичный отрезок длины стороны треугольника за х см, тогда гипотенуза АВ=13*х, катет АС=5х. Используя теорему Пифагора, составим выражение для нахождения второго катета СВ, величина которого 120мм=12см:(12)²=(13х)²-(5х)²⇒169х²-25х²=144⇒144х²=144⇒х=1см, значит гипотенуза АВ=13*1=13см, катет АС=5*1=5см. ΔАСD подобен ΔАСВ по двум углам, так как ∠А-общий, ∠ACB=∠ADC, отсюда AD/AC = AC/AB (каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией данного катета на гипотенузу).. Отсюда AD=АС²/АВ AD=25/13=1 12/13≈1,92см, DB=AB-AD=13-1,92=11,08см..
Прикреплены 2 рисунка.
1. в прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8. найдите: гипотенузу, высоту, проведенную к гипот

1. в прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8. найдите: гипотенузу, высоту, проведенную к гипот

0,0(0 оценок)

Ответ:

vipsab333

25.01.2021 06:32

А) Доказательство

По условию задачи медиана AM треугольника ACS пересекает высоту
конуса, значит медиана АМ и высота конуса ∈ плоскости Δ ACS.

Учитывая, что SC и SA образующие конуса, то SC = SA, значит Δ ACS - равнобедренный.

Т.к. N - середина АС, тогда SN - высота конуса и высота Δ ACS. ⇒ SN ⊥ AC и АС - диаметр основания конуса.

По условию AB = BC ⇒ ΔАВС - равнобедренный,
тогда BN - высота ⇒ BN ⊥ AC и BN ⊥ AN

Учитывая, что SN ⊥ BN, AS - наклонная, AN - проекция наклонной (AN ⊥ BN), то по теореме о трех перпендикулярах AS ⊥ BN, а значит BN ⊥ MN, так как MN || AS (MN - средняя линия).

Что и требовалось доказать.

б) Найдите угол между прямыми AM и SB, если $AS = 2 \ , \ AC = \sqrt{6}$

Решение.

Построим прямую МЕ || SB. Прямые AM и SB скрещиваются, поэтому угол между ними, будет равен углу между прямой АМ и МЕ.

Угол АМЕ найдем из ΔАЕМ, для это найдем его стороны.

ΔАВС - равнобедренный (по условию AB = BC) и прямоугольный. ∠ ВАС = 90° т.к. это угол опирается на диаметр окружности), тогда
$AC^2 = 2AB^2 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ AB=BC = \sqrt{\frac{ \sqrt{6}^2 }{2}} = \sqrt{3}$
AE - медиана, то по формуле медианы треугольника найдем

$AE = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2} = \\ \\ = \frac{1}{2} \sqrt{2* (\sqrt{3})^2 + 2*(\sqrt{6})^2-(\sqrt{3})^2}= \frac{ \sqrt{15}}{2}$

Рассмотрим ΔASC. AМ - медиана, то по формуле медианы треугольника найдем

$AM = \frac{1}{2} \sqrt{2AS^2 + 2AC^2 - SC^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2*2^2 + 2*(\sqrt{6}) ^2 - 2^2} = 2$

Рассмотрим ΔSBC. Где AS = SB = 2, ME - средняя линия ΔSBC, тогда
МЕ = SB / 2 = 2 / 2 = 1

Тогда по теореме косинусов из ΔAME найдем ∠AME = α
$AE^2 = AM^2 + ME^2 - 2 *AM*ME*cos \alpha$

Отсюда
$2 *AM*ME*cos \alpha = AM^2 + ME^2 - AE^2 \\ \\ 2 *2*1*cos \alpha = 2^2 + 1^2-( \frac{ \sqrt{15}}{2})^2 \\ \\ cos \alpha = (5- \frac{ 15}{4})* \frac{1}{4} = \frac{ 5}{4}* \frac{1}{4}= \frac{5}{16}$

$\alpha = arcos \frac{5}{16}$

ответ:
$arcos \frac{5}{16}$

На окружности основания конуса с вершиной s отмечены точки a, b и c так, что ab = bc . медиана am тр