1)медиана треугольника образует с его сторонами, выходящими из той же вершины , углы 40 и 70 градусов. докажите, что медиана равна половине одной из них. 2)диагонали разбивают четырёхугольник на четыре треугольника
с равными периметрами. докажите, что данный четырёхугольник - параллелограмм. , , 35
1) Для доказательства данного утверждения о медиане треугольника нам потребуется знание о свойствах треугольников и внутренних углах.
Пусть треугольник ABC - исходный треугольник, в котором AD является медианой и углы CAD и BAD равны 40° и 70° соответственно.
Доказательство:
a) Проведем медиану AD из вершины A до середины стороны BC. Пусть точка пересечения медианы AD и стороны BC будет называться точкой M.
b) Рассмотрим треугольник ABD. Он равнобедренный, так как AC и AD - медианы, а медианы в треугольнике делят свою основание пополам. Значит, угол ABD равен углу BAD и составляет 70°.
c) Рассмотрим треугольник ACD. Обозначим угол ACD через x. Так как у треугольника ABC углы должны быть в сумме равны 180°, то угол ADC составляет 180° - 70° - 40° = 70°.
d) Треугольник ACD - равнобедренный, так как AC и AD - медианы, и они делят свою основание пополам. Значит, угол ACD равен углу CAD и также составляет 40°.
После проведения этих шагов мы получаем, что углы ABD и ACD оба равны углу CAD и составляют 40°. Это означает, что медиана AD делит угол A на две равные части. Так как угол A составляет 80°, то AD делит его на две части, каждая из которых равна 40°. Следовательно, медиана AD равна половине угла A. То есть, утверждение доказано.
2) Для доказательства данного утверждения о четырехугольнике, разбитом диагоналями на четыре треугольника с равными периметрами, нам также потребуется знание о свойствах треугольников и четырехугольников.
Пусть ABCD - исходный четырехугольник, в котором AC и BD являются диагоналями и разбивают его на треугольники ABC и ACD, а также треугольники BAD и BCD.
Доказательство:
a) Пусть AB = c, BC = a, CD = d, и AD = b будут сторонами треугольника ABCD.
b) Рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что треугольник ABC имеет три стороны a, c, и d. Сумма его сторон должна быть равной периметру треугольника ABCD, то есть a + c + d.
c) Рассмотрим треугольник ACD. Мы знаем, что треугольник ACD имеет три стороны b, c, и d. Сумма его сторон должна быть равной периметру треугольника ABCD, то есть b + c + d.
d) Так как периметры треугольников ABC и ACD равны, получаем уравнение a + c + d = b + c + d, которое можно упростить, отбросив одинаковые члены: a = b.
e) Теперь рассмотрим треугольники BAD и BCD. Аналогично, мы можем получить уравнение c = d.
f) Получили, что стороны треугольника ABCD параллельны попарно (a || c и b || d), что является определением параллелограмма.
Таким образом, доказано, что данный четырехугольник является параллелограммом.
Внимательное изучение и применение этих свойств и шагов поможет вам успешно решать задачи и доказывать утверждения в геометрии. Удачи!