1) на плоскости даны окружности радиусов 4 и 11, расстояние между центрами которых равно 25. длины их общих касательных равны: 1. внешних 2. внутренних 2) дан треугольник abc, в котором bc=12. одна его вневписанная окружность касается продолжения стороны bc за точку b в точке x, а другая вневписанная окружность касается продолжения стороны bc за точку c в точке y. пусть z — середина отрезка xy. чему равна длина отрезка bz? 3 в треугольнике abc известны длины сторон ab=10 и ac=13. чему должна быть равна длина стороны bc, чтобы точки касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной bc делили её на три равных отрезка? 4) в треугольнике abc длина стороны ab равна 10, а длина стороны ac равна n, где n — натуральное число. при скольких значениях n можно подобрать длину стороны bc такую, чтобы точки касания вписанной и вневписанной окружностей треугольника abc со стороной bc делили её на три равных отрезка?
Т.к. АО=ОВ и угол АОВ=60, то АОВ - равносторонний
Заметим, что мы сможем построить еще 5 таких треугольников, так как 360/60=6
(Будем откладывать от АО углы в 60 и получать равные треугольники)
Площадь окружности = П*R^2
Т.к. АОВ - р/с => АО=AB=10 см
А значит R=10 см
Обозначил площадь АОВ = S1, а площадь сегмента = S2, тогда сумма площадей треугольников и сегментов = площади круга, или
6S1+6S2=П*R^2
Площадь равностороннего треугольника S1= √(75)*10/2= √(75)*5
Тогда
6( S2+ √(75)*5)=3,14*10^2
S2=3,14*100/6- √(75)*5
S2=113,77
Т.к. угол САВ=90 => О принадлежит отрезку СВ (по свойству вписанного угла величины 90)
Тогда О - середина СВ => ОВ=ОА=ОС ( по свойству прямоугольного треугольника)
Тогда угол ОВА=ОАВ=45
А значит ОАВ - равнобедренный прямоугольный треугольник
Треугольник АВС - также равнобедренный прямоугольный треугольник
2)пусть ОН - перпендикуляр из О на сторону АС
Заметим, что ОН - серединный перпендикуляр к АС
Также если ОМ - перпендикуляр на АВ, то АНОМ - квадрат (по признаку (ОН=ОМ, углы НОМ=АМО=МОН=ОНА=90))
А значит АН=ОМ=4
А следовательно АС=2АН (Н-середина)=8 см