1. На рисунке OABC - ромб, сторона которого равна 5, высота равна 4. Найдите абсциссу точки D
2. Дан треугольник с вершинами в точках А(0;2), С(6;0), D(-1;4). Найдите длину медианы DM
3. Треугольник ACE - равнобедренный с основанием АЕ, равным 10 и высотой СН, равной 4. Система координат расположена так, что луч НЕ является положительной полуосью абсцисс, а луч НС - положительной полуосью ординат. Укажите координаты вершины А.
1) (4; -5)
2) (-5;4)
3) (-5;0)
4) (10;4)
Рассмотрим рисунок:
A
/ \
/ \
O-----B
\ /
\ /
C
По определению ромба, все стороны равны, поэтому OA = AB = BC = CO = 5.
Также, так как ромб OABC - ромб, то его диагонали перпендикулярны и пересекаются в точке M в центре ромба. Пусть точка D - это точка на диагонали OB.
Чтобы найти абсциссу точки D, нам нужно найти координаты точки M, потому что точка D лежит на линии, проходящей через точку M и параллельной оси абсцисс.
Для нахождения координат точки M воспользуемся свойством ромба - его диагонали делятся пополам.
Для нахождения координаты x точки M сначала найдем среднее значение абсцисс точек A и C:
xM = (0 + 6) / 2 = 3
Теперь у нас есть значение абсциссы точки M, поэтому мы можем найти уравнение линии, проходящей через точку M и параллельной оси абсцисс:
x = 3
То есть, абсцисса точки D также равна 3.
Ответ: Для точки D абсцисса равна 3.
2. Чтобы найти длину медианы DM, нам нужно знать координаты вершины треугольника D и центра масс треугольника, который является точкой пересечения медиан.
Для нахождения координаты центра масс треугольника D воспользуемся формулами:
xM = (xA + xC + xD) / 3
yM = (yA + yC + yD) / 3
Заменим значения координат точек в формулы:
xM = (0 + 6 + (-1)) / 3 = 5 / 3
yM = (2 + 0 + 4) / 3 = 6 / 3 = 2
Теперь у нас есть координаты точки M, поэтому мы можем найти длину медианы DM, которая является расстоянием между точками D и M. Для этого воспользуемся формулой для расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Заменим значения координат точек в формулу:
d = √((5 / 3 - (-1))^2 + (2 - 4)^2)
= √((5 / 3 + 1)^2 + (-2)^2)
= √((8 / 3)^2 + 4)
= √(64 / 9 + 36 / 9)
= √(100 / 9)
= 10 / 3
Ответ: Длина медианы DM равна 10 / 3.
3. Чтобы найти координаты вершины А треугольника ACE, нам нужно знать длину основания АЕ и высоту СН.
Основание АЕ равно 10, а высота СН равна 4. Так как треугольник ACE является равнобедренным, то точка H (перпендикулярная основанию и лежащая на стороне AC) будет симметрична точке D (СН = DH = 4).
E
/|
/ |
A--H
/ |
C-----N
Также, так как луч НС является положительной полуосью ординат, то точка H будет лежать ниже точки C.
Теперь, чтобы найти координаты точки А, нужно вычислить симметричную точку Н относительно точки D. Для этого нужно просуммировать абсциссу точки C с разностью между абсциссой точки D и точки H:
xА = xC + (xD - xH)
= 6 + (-1 - (-5))
= 6 + 4
= 10
yА = yC - (yH - yC)
= 0 - (4 - 0)
= 0 - 4
= -4
Ответ: Координаты вершины А треугольника ACE равны (10; -4).