1. На стороне AC треугольника АВС отмечена точка D.
Докажите, что если радиусы окружностей, описанных около треугольников ABD и CBD, равны, то AB = BC.
2. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной а, и основанием, равным b.
3. На стороне BC треугольника АВС отмечена точка D. Найдите сторону BC, если расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ABD и ACD, равно d и угол ADB =a .
4. В прямоугольный треугольник с катетами AC = 7 и ВС=24 вписана окружность. Найдите расстояние от её центра до вершины А.
1) По теореме синусов
AB/sin(BDA) =2R =BC/sin(BDC)
BDA+BDC=180 (смежные) => sin(BDA)=sin(BDC)
=> AB=BC
2)
4) В любом треугольнике
Отрезки касательных из одной точки равны.
AK=AL, BL=BN, CN=CK
полупериметр p =AL+BL+CK =AB+CK => CK =p-AB
В прямоугольном треугольнике
CKON - квадрат, CK =OK =r =p-AB
По т Пифагора AB=25
CK =OK =(7+24-25)/2 =3
AK =7-3 =4
AO =√(AK^2 +OK^2) =5