№1.Накреслити трикутник АВС і побудувати його образ при гомотетії з центром у вершині А і коефіцієнтом k = 0,5.
Чому дорівнює відношення периметрів побудованого трикутника і трикутника АВС ?
№2.Сторони двох квадратів відносяться як 3 : 7. Знайти площу меншого квадрата, якщо площа більшого 98〖см〗^2.
№3.Обчислити координати образу точки А(4; 5) при гомотетії з
центром С(3; – 4) і коефіцієнтом k = 3.
№4.Точка М ділить сторону ВС квадрата АВСD у відношенні
3 : 5, рахуючи від точки В. Відрізки АМ і ВD перетинаються в
точці Р. Знайти площу трикутника АРD, якщо площа трикутника ВРМ дорівнює 18〖см〗^2.
№5.Площа будівлі дорівнює 120 м^2. Яку площу вона матиме на
плані у масштабі 1 : 200 ?
Рисуем трапецию в окружности.
Дополним рисунок треугольниками АМD и ВНС.
Углы при вершинах этих треугольников равны половине центральных углов ( под которыми видны из центра окружности основания трапеции)
Путем несложных вычислений находим углы треугольников DМН и МНС
Для решения применена теорема синусов.
Синусы найденных углов
72,5=0,9537
62,5=0,8870
22,5=0,3826
17,5=0.3007
---------------------------------
МН:sin 62,5=8:0,887=9,019
DН=9,019∙ sin22,5=3,4507
AD=6,9
-------
МН:sin 72,5=8:0,9537=8,3884
СМ=8,3884∙sin17,5=2,52
ВС=5,04
Ясно, что значения длин сторон округленные.
-------------
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на ее высоту.
S ABCD=8(6,9+5,04):2=95,52 (?)³
В тр-ке АВМ АМ=АС/2=20 см. по т. Пифагора АВ²=АМ²+ВМ²=20²+15²=625,
АВ=25 см.
В тр-ке АВМ по теореме косинусов:
cosА=(АВ²+АМ²-ВМ²)/(2·АВ·АМ)=(25²+20²-15²)/(2·25·20)=0.8
В тр-ке АКМ по т. косинусов:
КМ²=АК²+АМ²-2·АК·АМ·cosA=20²+20²-2·20·20·0.8=160,
КМ=РМ=√160=4√10 см - это ответ.
В тр-ке АВС:
соsВ=(АВ²+ВС²-АС²)/(2·АВ·ВС)=(25²+25²-40²)/(2·25²)=-7/25,
В тр-ке ВКР ВК=ВР=АВ-АК=АВ-АМ=25-20=5 см (АМ=АК так как они касательные из одной точки).
КР²=ВК²+ВР²-2·ВК·ВР·cosВ=5²+5²-2·5²·(-7/25)=64,
КР=8 см - это ответ.