1.найдите координаты середины отрезка bc, если b (-2; 4), c(6; -4)
2.найдите длину отрезка eh, если e (-3; 8), h(-2; 4)
3.вершины четырехугольника abcд имеют следующие координаты: a (-3; -1), b (1; 2), с (5; -1), д (1; -4). докажите, что этот четырехугольник-ромб
1. Найдите координаты середины отрезка bc, если b (-2; 4), c(6; -4):
Для нахождения координат середины отрезка, нужно найти среднее арифметическое координат концов отрезка. Таким образом, суммируем соответствующие координаты и делим полученные значения на 2.
Координата середины по x: (x_b + x_c)/2 = (-2 + 6)/2 = 2/2 = 1.
Координата середины по y: (y_b + y_c)/2 = (4 + (-4))/2 = 0/2 = 0.
Таким образом, координаты середины отрезка bc равны (1; 0).
2. Найдите длину отрезка eh, если e (-3; 8), h(-2; 4):
Для нахождения длины отрезка, воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2],
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек.
Заменим значения в формуле:
d = √[(-2 - (-3))^2 + (4 - 8)^2]
= √[(-2 + 3)^2 + (4 - 8)^2]
= √[1^2 + (-4)^2]
= √[1 + 16]
= √17
Таким образом, длина отрезка eh равна √17.
3. Вершины четырехугольника abcд имеют следующие координаты: a (-3; -1), b (1; 2), с (5; -1), д (1; -4). Докажите, что этот четырехугольник - ромб.
Чтобы доказать, что четырехугольник является ромбом, нужно проверить выполнение двух условий:
- Все стороны равны между собой
- Диагонали являются взаимно перпендикулярными
1) Проверим, что все стороны равны:
a -> b: √[(1 - (-3))^2 + (2 - (-1))^2] = √[4^2 + 3^2] = √[16 + 9] = √25 = 5
b -> c: √[(5 - 1)^2 + (-1 - 2)^2] = √[4^2 + (-3)^2] = √[16 + 9] = √25 = 5
c -> d: √[(1 - 5)^2 + (-4 - (-1))^2] = √[(-4)^2 + (-3)^2] = √[16 + 9] = √25 = 5
d -> a: √[(-3 - 1)^2 + (-1 - (-4))^2] = √[(-4)^2 + 3^2] = √[16 + 9] = √25 = 5
Таким образом, все стороны равны 5.
2) Проверим, что диагонали являются взаимно перпендикулярными.
Определим координаты диагоналей:
диагональ ac: (-3, -1), (5, -1)
диагональ bd: (1, 2), (1, -4)
Вычислим угловые коэффициенты прямых, проходящих через эти точки:
k_ac = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (-1 - (-1))/(5 - (-3)) = 0/8 = 0
k_bd = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (-4 - 2)/(1 - 1) = (-6)/0, что является неопределенным.
Диагонали являются перпендикулярными, если и только если угловые коэффициенты их прямых обратно пропорциональны, то есть k_ac * k_bd = -1. В данном случае это условие не выполняется, поэтому четырехугольник abcд не является ромбом.