1. Найти стационарные точки функции f(x) = х - 2x2 +х+3.
2. Найти экстремумы функции:
1) f(x) = x3 - 2x2 +х+3; 2) f(x) = e" (2x - 3).
3. Найти промежутки возрастания и убывания функции
f(x) = x3 – 2x2 +х+ 3.
4. Построить график функции f(x) = x3 - 2x2 +х+3 на
отрезке (-1; 2].
5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = х2 - 2x2 +х+3 на отрезке
2
6. Среди прямоугольников, сумма длин трёх сторон кото-
рых равна 20, найти прямоугольник наибольшей пло-
щади.
Производная функции f(x) равна f'(x) = 1 - 4x + 1 = -4x + 2.
Для того чтобы найти значения x, при которых f'(x) = 0, нужно решить уравнение -4x + 2 = 0.
-4x + 2 = 0
-4x = -2
x = -2/-4
x = 1/2
Таким образом, стационарная точка функции f(x) = x - 2x^2 + x + 3 равна x = 1/2.
2. Для нахождения экстремумов функции f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3, нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует.
Производная функции f(x) равна f'(x) = 3x^2 - 4x + 1.
Для того чтобы найти значения x, при которых f'(x) = 0, нужно решить уравнение 3x^2 - 4x + 1 = 0.
Используя квадратное уравнение, получаем:
x = (-(-4) ± √((-4)^2 - 4(3)(1)))/ (2(3))
x = (4 ± √(16 - 12))/6
x = (4 ± √4)/6
x = (4 ± 2)/6
x = (6/6) = 1
x = (2/6) = 1/3
Таким образом, экстремумы функции f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 равны x = 1 и x = 1/3.
Для функции f(x) = e^(2x - 3), чтобы найти экстремумы, нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует.
Производная функции f(x) равна f'(x) = e^(2x - 3) * 2.
Для того чтобы найти значения x, при которых f'(x) = 0, нужно решить уравнение e^(2x - 3) * 2 = 0.
Однако, уравнение e^(2x - 3) * 2 = 0 не имеет решений, так как экспоненциальная функция e^(2x - 3) всегда положительна для любых значений x.
Таким образом, функция f(x) = e^(2x - 3) не имеет экстремумов.
3. Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3, нужно найти значения x, при которых производная функции положительна и отрицательна.
Производная функции f(x) равна f'(x) = 3x^2 - 4x + 1.
Для того чтобы найти значения x, при которых f'(x) > 0, нужно решить неравенство 3x^2 - 4x + 1 > 0.
Факторизуем неравенство:
(3x - 1)(x - 1) > 0
Затем, используя таблицу знаков, находим промежутки, в которых производная положительна:
x < 1/3 и x > 1.
Аналогично, для того чтобы найти значения x, при которых f'(x) < 0, нужно решить неравенство 3x^2 - 4x + 1 < 0.
Факторизуем неравенство:
(3x - 1)(x - 1) < 0
Используя таблицу знаков, находим промежутки, в которых производная отрицательна:
1/3 < x < 1.
Таким образом, промежутки возрастания функции f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 находятся в интервалах x < 1/3 и x > 1, а промежутки убывания - в интервале 1/3 < x < 1.
4. Чтобы построить график функции f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 на отрезке (-1; 2], нужно определить значения функции для различных значений x в этом интервале.
Можно выбрать несколько значений x, например, -1, 0, 1, и 2, и вычислить соответствующие значения функции:
При x = -1: f(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) + 3 = -1 + 2 - 1 + 3 = 3
При x = 0: f(0) = 0^3 - 2(0)^2 + 0 + 3 = 0 - 0 + 0 + 3 = 3
При x = 1: f(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3
При x = 2: f(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 2 + 3 = 8 - 8 + 2 + 3 = 5
Теперь мы имеем несколько точек на графике: (-1, 3), (0, 3), (1, 3), и (2, 5).
Соединим эти точки с помощью кривой линии. График будет иметь форму подобную параболе, вогнутой вниз.
5. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x^2 - 2x^2 + x + 3 на отрезке [2], нужно найти значения функции для этих значений x и выбрать максимальное и минимальное значение.
При x = 2: f(2) = 2^2 - 2(2)^2 + 2 + 3 = 4 - 8 + 2 + 3 = 1
Поэтому на отрезке [2] наибольшее значение функции f(x) равно 1, а наименьшее значение также равно 1.
6. Для решения данной задачи, нужно найти прямоугольник с наибольшей площадью среди прямоугольников, сумма длин трёх сторон которых равна 20.
Обозначим длину первой стороны прямоугольника как x, длину второй стороны как y, а длину третьей стороны как 20 - x - y. Выражая площадь прямоугольника через эти переменные, получаем:
Площадь = x(20 - x - y)
Чтобы найти прямоугольник с наибольшей площадью, нужно производной функции выразить x и y, и найти значения, при которых производная равна нулю.
Дифференцируем площадь по x:
dПлощадь/dx = 20 - 2x - y
Дифференцируем площадь по y:
dПлощадь/dy = -x
Чтобы найти значения x и y, при которых производные равны нулю, решаем систему уравнений:
20 - 2x - y = 0
-x = 0
Из второго уравнения получаем, что x = 0. Подставляем это значение в первое уравнение:
20 - 2(0) - y = 0
20 - y = 0
y = 20
Таким образом, прямоугольник с наибольшей площадью имеет длину первой стороны x = 0, длину второй стороны y = 20, и длину третьей стороны 20 - x - y = 20 - 0 - 20 = 0.
Так как одна из сторон прямоугольника равна 0, площадь такого прямоугольника равна 0.