1. найти угол между прямыми ab и
сд, если а(1. 1. 1), b(-3, -2,-1), c(0, -1, 2), дс(-3, 1, 2)
2. найти площадь параллелограмма
авсд, если а( 1. 1. 1), b(-3, -2,-1),
с(0, -1, 2)
3. найти площадь треугольника abc,
если а(1. 1. 1), b(-3, -2,-1), c(0, -1,2)
4. найти объём параллелепипеда,
построенного на точках а, в, с, д,
если а(1. 1. 1), b(-3, -2, -1), c(0, -1,2), дс(-3, 1, 2)
S=1/2*ab*sin С, где С - угол между сторонами а и b. Если углы треугольника обозначим как А, В, С, а стороны как а, b, c (соответственно 7, 9, 11), то получим
значения площади S=63/2*sin C=77/2*sin B=99/2*sin A.
Другая формула площади S=1/4*V(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=1/4V27*5*9*13=3/4V195.
63/2sin C=3/4*V195 => sin C=3/4*V195*2/63=3/126*v195=1/42V195
(cos C)^2=1-(sin c)^2 => (cos C)^2=1-195/1764=65/588 => cos C=V65/588=1/14*V65/3=1/42V195.
Аналогично находим cos B, cos A.
Признаки параллельности прямых.
1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство:
Пусть О - середина отрезка АВ. Проведем ОН⊥b и продлим его до пересечения с прямой а.
ΔОАК = ΔОВН по стороне и двум прилежащим к ней углам (АО = ОВ, так как О - середина АВ, углы при вершине О равны как вертикальные, ∠ОАК = ∠ОВН по условию - накрест лежащие), значит
∠ОКА = ∠ОНВ = 90°.
Два перпендикуляра к одной прямой параллельны, значит
а║b.
2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов 180°, то прямые параллельны.