1 ) Обозначим углы < A= 1х , < B =13х , < C = 17х , < D = ? 2) так как 4угольник вписан в окружность ,то сумма противоположных углов равна 180 градусов . < A и <C -противоположные углы => <A + <C = 180 1х+ 17х = 180 18 * х= 180 х= 180 : 18 х=10 - одна часть 3 ) Найдем градусные меры углов : <A= 1*10=10 , <B = 13*10=130 , <C =17*10=170 4 ) <B и <D противоположные углы и <B+<D=180 <D=180-130=50 ответ : 50 Проверочная работа. 1. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 10 , основание равно 12 . Найдите радиус окружности , описанной около этого треугольника. 2. Найдите диагональ прямоугольника , вписанного в окружность , радиус которой равен 35 . 3 . Угол А четырехугольника АВСD , вписанного в окружность равен 97 градусов . Найдите угол С этого четырехугольника. 4 . Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 25 и 47 градусов. Найдите больший из оставшихся углов. 5 . Углы А , В , С четырехугольника АВСD относятся как 4 : 5 : 14 . Найдите угол D , если около данного четырехугольника можно описать окружность
ВЕ:ВА=ВО:ВD=CO:CA=CF:CD=k
Треугольники ВЕО и BAD подобны с коэффициентом подобия k ( EO || AD).
EO:AD=k ⇒ EO=k·AD.
Треугольники COF и CAD подобны с коэффициентом подобия k ( OF || AD).
OF=k·AD.
EO=OF=k·AD
2.
Пусть а и b - основания трапеции, a < b;
с - боковая сторона.
Суммы противоположных сторон четырехугольника, в который может быть вписана окружность, равны.
a+b=c+c
По условию
Р=80
a+b+2c=80
(a+b)+(a+b)=80 ⇒ a+b=2c=40 ⇒ c=20
S=(a+b)h/2
320=40·h/2 ⇒ h=16
Проведем из вершин верхнего основания высоты.
Высоты разбивают трапецию на прямоугольник со сторонами а и 16 и два равных прямоугольных треугольника с катетами h=16 и (b-a)/2
По теореме Пифагора:
((b-a)/2)²=c²-h²=20²-16²=400-256=144=12²
(b-a)/2=12
b-a=24
a+b=40
2b=64
b=32
a=8
Треугольники ВОС и АОD подобны.
Пусть расстояние от точки О до ВС равно х, тогда расстояние от точки О до AD равно (16-х)
Из подобия
ВС: AD=x:(16-x);
8:32=x:(16-x);
32x=128-8x;
32x+8x=128;
40x=128;
x=3,2
О т в е т. 3,2 .