1) Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетом 4. Вычислите объем призмы, если радиус окружности, описанной около ос-нования, равен 2,5, а высота призмы равна 10?
2). Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 и катетом 20. Меньшая боковая грань и основание призмы равновели-ки. Найдите площадь полной поверхности призмы.
3).. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 и острым углом 30°. Диагональ боковой грани, содержащей катет, про-тиволежащий данному углу, равна 13. Найдите объем призмы.

А) Пусть S - середина AB, а T - середина BC. Тогда O₁S=AB/2 (т.к. ADFB - квадрат) и MT=AB/2 (т.к. MT - средняя линия треугольника ABC), т.е. O₁S=MT. Аналогично, O₂T=BC/2=MS. Дальше ∠O₁SM=∠O₁SA+∠ASM=90°+∠ABC (т.к. ∠ASM=∠ABC). Аналогично, ∠MTO₂=90°+∠ABC, т.е. ∠O₁SM=∠MTO₂. Значит, треугольники O₁SM и MTO₂ равны по 1-му признаку. Отсюда O₁M=O₂M.

б)∠O₁MO₂=∠O₁MS+∠O₂MT+∠SMT. Но ∠SMT=∠ABC (т.к. SBTM - параллелограмм), ∠TMO₂=∠SO₁M (т.к. треугольники O₁SM и MTO₂ равны), значит, ∠O₁MO₂=∠O₁MS+∠SO₁M+∠ABC=
=180°-∠O₁SM+∠ABC=180°-(90°+∠ABC)+∠ABC=90°.

Решение задачи указывает на некорректность её условия. Возможно, так и было задумано, чтобы найти в нём ошибку.  

———

ВВ1 перпендикулярен плоскости альфа, следовательно, этот отрезок перпендикулярен любой прямой, проходящей в этой плоскости через В1. 

BD=6√2 по условию. 

∆ ВАD- прямоугольный равнобедренный.  Его острые углы равны 45°⇒

AD=BD•sin45°=6

По условию AD лежит в плоскости α.

Поэтому по т. о 3-х перпендикулярах  В1А⊥AD и C1D⊥DA, и проекция квадрата ABCD на эту плоскость – прямоугольник АВ1С1D. 

Угол В1АD - прямой. 

Угол В1DА=60°(дано)

Проекция диагонали ВD на плоскость α –  В1D и является гипотенузой

 треугольника В1АD с прямым углом А.

B1D=AD:cos60°=6:1/2=12 (ед. длины)

———————

Мы получили проекцию наклонной, которая имеет большую длину, чем сама наклонная ВD. Т.е. в прямоугольном ∆ ВВ1D длина катета B1D  больше длины гипотенузы BD, чего быть не может.

Но если 

а) величина угла В1DА равна 30°,то проекция ВD на плоскост α  равна AD:cos30°=4√3. 

или 

б) угол В1DB=60° - В1D=3√2– тоже допустимый результат.