1. ответить на контрольные во Нарисовать систему координат в и отметить на ней название координатных осей, единичные вектора;
2). Записать какие координаты имеют единичные вектора;
3). Дать определение радиус-вектора
4). Записать формулы координат середины отрезка, длины вектора и расстояние между двумя точками
5). Записать формулы скалярного произведения через длины векторов и координаты векторов.
2. Найдите координаты вектора , если , , a
3. Найдите координаты вектора , если , , a
4.Найдите:
a) длину , если А(-1;0;2) и В(1;-2;3)
б) скалярное произведение векторов , если и
5.Найдите:
a) длину , если
А(-35;-17;20) и В(-34;-5;8)
б) скалярное произведение векторов , если и
6. Найдите угол между векторами:
7. Даны точки А(3;5;4), B(4;6;5), C(6;-2;1) и D(5;-3;0). Найдите расстояния между серединами отрезков AB иCD.
7. Определить вид треугольника ABC, если:
A(9;3;-5), B(2;10;-5) и C(2;3;2)
8. Определить вид треугольника ABC, если:
A(3;7;-4), B(5;-3;2) и C(1;3;-10)
1. Нарисовать систему координат в и отметить на ней название координатных осей, единичные вектора:
Система координат в трехмерном пространстве представляет собой трехмерную систему с осями x, y и z. Удобно представить себе систему координат как трехмерную сетку, где ось x горизонтальная, ось y вертикальная, а ось z направлена вглубь экрана.
Единичные вектора – это векторы длиной 1, которые простираются вдоль каждой из координатных осей. Таким образом, единичный вектор вдоль оси x обозначается i, вдоль оси y j, а вдоль оси z k.
2. Записать какие координаты имеют единичные вектора:
Единичный вектор i имеет координаты (1, 0, 0), единичный вектор j – (0, 1, 0), а единичный вектор k – (0, 0, 1).
3. Дать определение радиус-вектора:
Радиус-вектор – это вектор, который указывает от начала координат до точки в пространстве. Он является направленным отрезком, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с заданной точкой. Радиус-вектор обычно обозначается буквой r.
4. Записать формулы координат середины отрезка, длины вектора и расстояние между двумя точками:
- Формула координат середины отрезка AB:
Середины отрезка AB может быть найдена, если сложить координаты точек A и B, а затем разделить полученную сумму на 2:
Середина отрезка AB: ( (xA + xB) / 2 , (yA + yB) / 2 , (zA + zB) / 2 )
- Формула для вычисления длины вектора AB:
Длина вектора AB может быть вычислена по формуле:
Длина AB = √( (xB - xA)² + (yB - yA)² + (zB - zA)² )
- Формула для нахождения расстояния между двумя точками A(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB):
Расстояние AB = √( (xB - xA)² + (yB - yA)² + (zB - zA)² )
5. Записать формулы скалярного произведения через длины векторов и координаты векторов:
- Формула для вычисления скалярного произведения векторов AB и CD:
Скалярное произведение AB и CD равно сумме произведений соответствующих координат векторов:
AB ⋅ CD = xA * xC + yA * yC + zA * zC
6. Найдите координаты вектора , если , , a:
Из данных условий следует, что координаты вектора равны (a, 2a, 3a).
7. Найдите координаты вектора , если , , a:
Исходя из данных условий, координаты вектора равны (3a, 4a, 5a).
8а. Найдите длину , если A(-1;0;2) и B(1;-2;3):
Используя формулу для вычисления длины вектора, получим:
Длина AB = √( (1 - (-1))² + (-2 - 0)² + (3 - 2)² ) = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3
8б. Найдите скалярное произведение векторов , если и :
Используя формулу для вычисления скалярного произведения векторов, получим:
AB ⋅ CD = (-3 * 1) + (2 * 2) + (4 * (-1)) = -3 + 4 - 4 = -3
9а. Найдите длину , если А(-35;-17;20) и В(-34;-5;8):
Применяя формулу для вычисления длины вектора, получим:
Длина AB = √( (-34 - (-35))² + (-5 - (-17))² + (8 - 20)² ) = √(1 + 144 + 144) = √289 = 17
9б. Найдите скалярное произведение векторов , если и :
Используя формулу для вычисления скалярного произведения векторов, получим:
AB ⋅ CD = (-2 * (-6)) + (5 * (-1)) + (3 * (-4)) = 12 - 5 - 12 = -5
10. Найдите угол между векторами:
- Формула для вычисления угла между векторами AB и CD:
cosθ = (AB ⋅ CD) / (|AB| * |CD|)
11. Даны точки А(3;5;4), B(4;6;5), C(6;-2;1) и D(5;-3;0). Найдите расстояния между серединами отрезков AB и CD:
Сначала найдем координаты середин отрезков AB и CD:
Середина отрезка AB: ( (3+4)/2, (5+6)/2, (4+5)/2 ) = (3.5, 5.5, 4.5)
Середина отрезка CD: ( (6+5)/2, (-2-3)/2, (1+0)/2 ) = (5.5, -2.5, 0.5)
Затем вычислим расстояние между этими серединами, используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками.
12. Определить вид треугольника ABC, если:
A(9;3;-5), B(2;10;-5) и C(2;3;2)
Для определения вида треугольника используем формулу для вычисления длин сторон треугольника. В данном случае, треугольник равнобедренный, так как длины сторон AB и AC равны:
Длина AB = √( (2 - 9)² + (10 - 3)² + (-5 - (-5))² ) = √172 = 2√43
Длина AC = √( (2 - 9)² + (3 - 3)² + (2 - (-5))² ) = √98 = 7√2
Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным.
13. Определить вид треугольника ABC, если:
A(3;7;-4), B(5;-3;2) и C(1;3;-10)
Для определения вида треугольника используем формулу для вычисления длин сторон треугольника. В данном случае, все три стороны треугольника различны и не равны друг другу. Соответственно, данный треугольник является разносторонним.
----
Исследовать векторы и треугольники в трехмерном пространстве – это интересная и важная часть математического анализа. Понимание этих понятий и формул позволит вам решать различные геометрические и физические задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или что-то будет непонятно, не стесняйтесь обратиться ко мне снова!