1) Периметр основания правильной треугольной пирамиды равен 12, а высота
пирамиды составляет 1. Определите площадь боковой поверхности пирамиды.
2) Высота правильной треугольной пирамиды равна 2, а площадь основания равна
9√3. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.
3) Определите площадь полной поверхности правильной четырехугольной
пирамиды, если ее высота равна 6, а апофема составляет 10.
4)| Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12, запофема
равна 6. Определите угол между плоскостью боковой грани и плоскостью
основания этой пирамиды.​

1)так как одна из сторон треугольника - диаметр описанной окружности, то этот треугольник прямоугольный.меньвая высота в нем проведена к гипотенузе. её квадрат равен произведпению отрезков, на которые делит основание высоты гипотенузу, т.е. 16·9=144, а высота тогда равна 12. меньшую сторону находим из прямоугольного  треугольника, стороны которого равны 12 и 9. она является в треугольнике гипотенузой, и поэтому её квадрат равен  144+81=225, а сторона равна 15 . это ответ - 15.
2) сторона ромба равна меньшей диагонали, значит, углы в этом ромбе:60, 120,60 и 120градусов. треугольникАВС, образованный меньшей диагональю и сторонами ромба, равносторонний. его площадь равна 0,5·4·4·√3:2=4√3, площадь  треугольника АОВ=0,5 площади АВС, т.е. 2√3. С другой стороны,  площадь  треугольника АОВ=0,5·4· r.=2r.  Тогда r=√3, а площадь вписаннонго круга = π· r² =3π

Один внутренний и и один внешний угол многоугольника, взятые при одной вершине,  составляют развернутый угол. ⇒ Их сумма равна 180°. 
Все внутренние углы правильного многоугольника равны. ⇒ равны и его  внешние углы.
 Если внешний угол принять равным х, то внутренний будет х+100°⇒
х+х+100°=180°
2х=80°
х=40°- величина внешнего угла данного правильного многоугольника.
 
Сумма внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой его вершине, равна 360°. ⇒

360°:40°=9 –  количество сторон данного многоугольника.