( ) 1) Площа паралелограма дорівнює 54 см у квадраті, а його висота на 3 см більше сторони, до якой вона проведена. Знайти сторону паралелограма та висоту, проведена до ней. 2) Знайти площею паралелограма, сторони якого дорівнюють 9 см та 15 см, а одна із діагоналі перпендікулярна його стороні.

1) Дано: Δ АВС; ∠B=90°;  СС`- биссектриса  угла С ( ∠С`CB=∠C`CA);
C`B=8;  CC`=16
Решение.
Из ΔС`CB  
sin ∠BCC`=BC`/CC`=8/16=1/2  ⇒∠BCC`=30°
∠С`CB=∠C`CA=30° (СС`- биссектриса и делит угол С пополам)
∠С=60°
Cумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°  ⇒∠ВАС=90°-60°=30°
Сумма смежных углов равна 180°
∠DAC=180°-30°=150°
2)Дано: Δ АВС; ∠C=90°; BC=10;  CD⊥AB; BD=5
Решение.
ΔBDC-прямоугольный, cos∠CBD=BD/BC=5/10=1/2
∠CBD=60°
Cумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°  ⇒∠ВАС=90°-60°=30°
В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30° равен половине гипотенузы, значит гипотенуза в два раза больше катета ВС.
АВ=20
AD=AB-DB=20-5=15
3) Дано: Δ ACD, AC=DC=4; CF⊥AD;  ∠DCF=30°; FB⊥AC
Решение.
CF- высота, медиана и биссектриса Δ ACD
∠DCF=∠ACF=30°    ⇒  ∠ACD=60°
ΔACD- равнобедренный ( AС=СD=4 по условию)
значит углы при основании (180°-60°)/2=120°/2=60°
ΔACD- равносторонний
AC=CD=AD=4

AF=FD=2 ( CF - медиана)

В прямоугольном треугольнике АВF 
∠ВАF=60°, значит ∠BFA=30° ( cумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°)
В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30° равен половине гипотенузы, значит ВF=AF/2=1.
4) Дано: Δ ABC, ∠C=90°; М- середина АВ ⇒АМ=ВМ; ∠CMD=∠DMA;
∠САВ=30°
Решение.
Cередина гипотенузы- центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника.
Поэтому МА=МВ=МС=R

МС=МА  ⇒ ΔМСА - равнобедренный ⇒ биссектриса MD - высота и медиана  ⇒ MD⊥AC

BC║MD

MD- средняя линия треугольника АВС
MD=BC/2=4/2=2

1)1/2а=(3;-1;1)
-б=(2;4;-2)
1/2а-б=1/2а+(-б)=(5;3;-1)
2)2б=(-4;-8;4)
2б+а=(2;-10;6)
|2б+а|=4+100+36(и все это под корнем)=
140(под корнем)=4•35(под корнем)=2корень из 35
3)cosL=a•b/|a|•|b|
|a|=36+4+4(под корнем)=корень из 44
|b|=4+16+4(под корнем)=корень из 24
А•б=6•(-2)+(-2)•(-4)+2•2=-12+8+5=0
СоsL1=0/корень 44•корень 24=0
L1=90 градусов 
L2
A-b=(6-(-2));-2-(-4);2-2)=(8;2;0)
A+b=(6+(-2);(-2)+(-4);;2+2)=(4;-6;4)
CosL2=(a-b)•(a+b)/|a-b|•|a+b|
(A-b)•(a+n)=8•4+2•(-6)+0•4=32-12=20
|a-b|=64+16(под корнем)=корень из 80
|а+б|=16+36+16(под корнем)=32+36(под корнем)=корень из 68 
СоsL2=20/80(корень )•69(корень)=5(корень)•5(корень)/5(корень)•2•17(корень)=5(корень):2корень из 17
L2=arccos 5(корень)/2 корень 17