1. Плоскость пересекает перпендикулярный к ней радиус шара и делит его точкой пересечения в отношении 3:1, считая от центра шара. Найдите площадь большого круга, если площадь образованного сечения равна 4π.
2. Вершины равносторонней трапеции лежат на поверхности сферы, боковая сторона трапеции равна 6 см, диагональ трапеции равна 8 см и перпендикулярна боковой стороне, расстояниям от центра сферы до плоскости трапеции 1 см. Найдите длину экватора.
3.Радиус сферы, описанной вокруг правильной четырехугольной пирамиды, равен 5 см, расстояние от центра сферы до плоскости основания пирамиды 1 см. Найти боковое ребро пирамиды, если известно, что центр сферы и вершина пирамиды находятся по одну сторону от плоскости оснований .
Известно, что только в прямоугольном тр-ке центр описанной окружности лежит на одной из его сторон - гипотенузе, причём на её середине, так как он равноудалён от вершин треугольника.
Рассмотрим подробно.
Тр-ки АВР и АРС равнобедренные, т.к. РМ⊥АВ и РК⊥АС, ВМ=АМ и АК=КС, значит РМ и РК - высоты и медианы (признак равнобедренности тр-ка).
РМ и РК - биссектрисы тр-ков АВР и АРС, углы ВРА и АРС - смежные, значит РМ⊥РК.
Углы между соответственно перпендикулярными прямыми равны.
РМ⊥АВ, РК⊥АС, РМ⊥РК, значит АВ⊥АС ⇒ ∠А=90°.
Доказано.
Построения в приложенном рисунке.
Объяснение:
Возможны 2 варианта построения, так как из вершины тупого угла можно провести две высоты к смежным сторонам параллелограмма.
1. На прямой "а" откладываем отрезок, равный одной из данных нам сторон и восстанавливаем к середине этого отрезка перпендикуляр (проведя две окружности радиусом, большим половины отрезка и соединяя точки их пересечения).
2. На прямой "а" откладываем от конца первого отрезка отрезок, равный первому и также восстанавливаем к середине этого отрезка перпендикуляр.
3. Из точек начала и конца первого отрезка, как из центров, проводим окружности радиусом, равным второму данному нам отрезку и в месте пересечения этих окружностей с проведенными перпендикулярами получаем точки - вершины строящегося параллелограмма.
4. Соединяем эти точки и точки начала и конца первого отложенного отрезка и получаем искомый параллелограмм (даже два зеркальных), удовлетворяющий условиям задачи.
P.S. Для второго варианта повторяем построение, начиная строить с отложения на прямой "а" второй данной нам стороны.