1. Плоскость α пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках М и К соответственно. Найдите длину отрезка МК, если АВ = 18 см, ВМ = 12 см, АС = 8 см. 2. Через точку В, расположенной между плоскостями α и β, проведены две прямые, которые пересекают эти плоскости в точках А и А₁, В и В₁. Найти А₁В₁, если АВ = 20 см, АО = 8 см, ОА₁ = 12 см.

Пусть ABCD – трапеция, CD = 2 см, АВ = 3 см, BD = 3 см и АС = 4 см. Чтобы известные элементы включить в один треугольник, перенесём диагональ BD на вектор DC в положение СВ'. Рассмотрим треугольник АСВ1. Так как ВВ'CD – параллелограмм, то В'С = 3 см, АВ' = АВ + ВВ' = АВ + CD = 5 см. Теперь известны все три стороны треугольника АВ'С. Так как АС²+ В'С²= АВ'²= 16+9=25, то треугольник АВ'С – прямоугольный, причем АСВ' = 90°. Отсюда непосредственно следует, что угол между диагоналями трапеции, равный углу АСВ', составляет 90°. Площадь трапеции, как и всякого четырёхугольника, равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Отсюда площадь равна 1/2AC * BD * sin 90° = 1/2 * 4 * 3 * 1 = 6 см²

Для решения прямоугольного треугольника нам понадобятся теоремы синусов и косинусов. Давайте посмотрим на каждое уравнение и найдем значения неизвестных сторон треугольника.

1. В случае, когда известны стороны a и b, а также угол между ними, можно воспользоваться теоремой синусов:

a / sin(Альфа) = b / sin(Бета)

В данном случае, имея a = 37 и Альфа = 18°55', мы можем найти значение sin(Альфа) с помощью таблицы значений тригонометрических функций, а затем найти неизвестную сторону b:

sin(Альфа) = sin(18°55') = 0,3206 (округляем до четырех знаков после запятой)

Теперь подставим значения в уравнение:

37 / 0,3206 = b / sin(Бета)

b = (37 / 0,3206) * sin(Бета)

Получив это уравнение, мы увидим, что нам также нужно знать значение синауса угла Бета. В данном случае, с помощью таблицы значений тригонометрических функций, найдем sin(Бета) как:

sin(Бета) = sin(41°7') = 0,6736 (округляем до четырех знаков после запятой)

Теперь мы можем найти значение стороны b:

b = (37 / 0,3206) * 0,6736 = 91,2125 (округляем до четырех знаков после запятой)

Таким образом, мы нашли значение стороны b.

2. Теперь рассмотрим следующее уравнение, где известны стороны b и c, а также угол между ними Бета:

b / sin(Бета) = c / sin(Гамма)

Нам нужно найти значение sin(Гамма), чтобы продолжить решение. По аналогии с предыдущим шагом, находим sin(Гамма):

sin(Гамма) = sin(Бета) = sin(41°7') = 0,6736 (округляем до четырех знаков после запятой)

Теперь, имея значения b = 48, c = 70 и sin(Гамма) = 0,6736, мы можем решить уравнение и найти сторону a:

48 / sin(Бета) = 70 / sin(Гамма)

sin(Бета) = 48 / 70 * sin(Гамма)

sin(Бета) = 48 / 70 * 0,6736 = 0,4605 (округляем до четырех знаков после запятой)

Теперь найдем значение стороны a:

a = (70 / sin(Гамма)) * sin(Бета)

a = (70 / 0,6736) * 0,4605 = 77,4877 (округляем до четырех знаков после запятой)

Таким образом, мы нашли значение стороны a.

3. В последнем уравнении, известны сторона a и градус Бета. Нам нужно найти сторону c, используя теорему косинусов:

c^2 = a^2 + b^2 - 2 * a * b * cos(Бета)

В данном случае, a = 80 и Бета = 46°24'. Сначала найдем значение косинуса угла Бета:

cos(Бета) = cos(46°24') = 0,6974 (округляем до четырех знаков после запятой)

Теперь подставим значения в уравнение:

c^2 = 80^2 + b^2 - 2 * 80 * b * 0,6974

Так как нам дано, что b = 42, мы можем преобразовать уравнение и найти значение c:

c^2 = 80^2 + 42^2 - 2 * 80 * 42 * 0,6974

c^2 = 6400 + 1764 - 5889.6

c^2 = 2274.4

c ≈ √2274.4

c ≈ 47.755 (округляем до трех знаков после запятой)

Итак, мы решили все четыре уравнения и нашли значения сторон треугольника. Заметим, что в тексте вопроса у нас есть два уравнения с b, одно с a и одно с c, но в результате мы нашли значения b, a и c для данного треугольника.