1. Плоскости и пересекаются по прямой к. В плоскости лежат точки А и С, причем прямая АВ не параллельна прямой к, а в плоскости
лежит тоска В. Постройте линии пересечения плоскостей и с
плоскостью (АВС).
2. Луч АМ пересекает параллельные плоскости и в точках М1 и М2, а
луч АК – в точках К1 и К2 соответственно. Вычислите длину отрезка
М2К2, если АК1=9, К1К2=18 и М1К1=24.
3. Треугольник АВМ и параллелограмм АВКР имеют общую сторону и не
лежат в одной плоскости. Точки С и О – середины сторон АМ и МВ
соответственно. Докажите, что прямые СО и АР скрещиваются и
найдите угол между ними, если угол Р равен 130°.
4. В тетраэдре DABC точка M лежит на ребре AD и делит его в отношении
1:2, считая от точки D, точка N лежит на ребре СD и делит его в
отношении 2:3, считая от точки С, точка К– середина ребра ВС.
Постройте сечение тетраэдра плоскостью (MNK)
В каждой вершине параллелепипеда сходятся смежные стороны трех граней, и их диагонали образуют треугольник. (см. рисунок вложения)
В данном случае диагонали равны 30, 40 и 70 см.
По теореме о неравенстве треугольников: длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.
Здесь имеем "треугольник" и три длины, и 70=30+40.
Тогда меньшие стороны "лягут" на большую, и треугольник не получится, как и параллелепипед с такими диагоналями граней.
Не могут диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда иметь длины 30 см, 40 см и 70 см.
• Гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого из катетов. a < c > b
• Сумма острых углов прямоугольного треугольника 180°-90°=90°
• Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами.
• Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на подобные треугольники.
• Если катет, лежит против угла 30°, он равен половине гипотенузы.
• Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна половине гипотенузы и является радиусом описанной около этого треугольника окружности.
• Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.
• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора):
c²=a²+b²
• Высота, проведенная к гипотенузе, - есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу ( т.е. между проекциями катетов на гипотенузу)
• Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.