1.Постройте окружность с центром в точке О, проведите два диаметра МК и DC. Докажите, что MD=KC. 2.К окружности с центром О из точки В проведите две касательные линии AB и CB. Докажите, что AB=CB, а луч ВО- биссектрисса угла АВС.
Так как трапеция АВСД равнобедренная, то и диагонали у неё равны. Обозначим стороны её a, b c, d. У трапеции, в которую вписана окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон. Если диагональ ВД передвинуть в точку С, то получим равнобедренный треугольник со сторонами 7, 7 и (2*5 = 10) м. Высота этого треугольника равна высоте трапеции и равна двум радиусам вписанной окружности. Отсюда r = (1/2)√(7² - (10/2)²) = (1/2)√(49 - 25) = (1/2)√24. Теперь рассмотрим треугольник АВО. По свойству трапеции, в которую вписана окружность, угол О - прямой. Радиус, проведенный в точку касания окружности боковой стороны, - это перпендикуляр к этой стороне, то есть высота треугольника из точки О. Точка касания делит боковую сторону на 2 отрезка, равные b / 2 и d / 2 На основании свойства высоты прямоугольного треугольника: r² = (b / 2)*(d / 2) = bd / 4 или bd = 4r² = 4*((1/2)√24) = 24. Теперь решим систему уравнений: bd = 24 b + d = 10. Используем подстановки: b = 24 / d . Тогда (24 / d) + d = 10.,Приводим к общему знаменателю и получаем квадратное уравнение: d²-10d+24=0.Заменим обозначенме стороны d на х для решения этого уравнения: Квадратное уравнение, решаем относительно X: Ищем дискриминант:D=(-10)^2-4*1*24=100-4*24=100-96=4; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: X_1=(√4-(-10))/(2*1)=(2-(-10))/2=(2+10)/2=12/2=6; X_2=(-√4-(-10))/(2*1)=(-2-(-10))/2=(-2+10)/2=8/2=4. Это и есть ответ: больший корень - это основание d = 6 см, а меньшее - 4 см.
Известно, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести единственную плоскость. Предположим, что какие-то 9 точек лежат на одной прямой. Тогда десятая точка либо лежит на этой же прямой, но тогда все 10 точек лежат на одной прямой, а значит, и в одной плоскости. Либо десятая точка не лежит на этой прямой, но тогда через неё и прямую можно провести единственную плоскость, и все 10 точек будут лежать в этой плоскости, что противоречит условию. Значит, среди 10 точек, не лежащих в одной плоскости, никакие 9 не лежат на одной прямой.
У трапеции, в которую вписана окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон.
Если диагональ ВД передвинуть в точку С, то получим равнобедренный треугольник со сторонами 7, 7 и (2*5 = 10) м.
Высота этого треугольника равна высоте трапеции и равна двум радиусам вписанной окружности.
Отсюда r = (1/2)√(7² - (10/2)²) = (1/2)√(49 - 25) = (1/2)√24.
Теперь рассмотрим треугольник АВО. По свойству трапеции, в которую вписана окружность, угол О - прямой.
Радиус, проведенный в точку касания окружности боковой стороны, - это перпендикуляр к этой стороне, то есть высота треугольника из точки О. Точка касания делит боковую сторону на 2 отрезка, равные b / 2 и d / 2
На основании свойства высоты прямоугольного треугольника:
r² = (b / 2)*(d / 2) = bd / 4 или bd = 4r² = 4*((1/2)√24) = 24.
Теперь решим систему уравнений:
bd = 24
b + d = 10.
Используем подстановки: b = 24 / d .
Тогда (24 / d) + d = 10.,Приводим к общему знаменателю и получаем квадратное уравнение: d²-10d+24=0.Заменим обозначенме стороны d на х для решения этого уравнения:
Квадратное уравнение, решаем относительно X:
Ищем дискриминант:D=(-10)^2-4*1*24=100-4*24=100-96=4;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
X_1=(√4-(-10))/(2*1)=(2-(-10))/2=(2+10)/2=12/2=6;
X_2=(-√4-(-10))/(2*1)=(-2-(-10))/2=(-2+10)/2=8/2=4.
Это и есть ответ: больший корень - это основание d = 6 см, а меньшее - 4 см.