1. При каком наименьшем существует выпуклый -угольник, у которого синусы всех углов равны, а длины всех сторон различны?

В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС.                       
Через вершину D и точку L, принадлежащую диагонали AC и такую, что  AL : LC = 5:4, проведена прямая до пересечения с прямой AB в точке M. 
Найти длину BM и отношение площадей треугольников AML и CDL если AB= 24 см 
Решение:  
Четырехугольник  АВСD -параллелограмм. 
Следовательно, СD=АВ=24 см
МD - секущая при параллельных АМ и СD. 
АС - секущая ири параллельных АМ и СD. 
⇒ угол АМD=СDМ, угол АСD=САМ, углы при L в этих треугольниках равны как вертикальные. 
⇒ треугольники АМL и СDL подобны с коэффициентом подобия АL:LС=5:4 
 ⇒АМ:СD=5:4
Произведение средних членов пропорции равно произведению крайних. 
4 АМ=5 СD 
4 АМ=24*5=120  см
АМ=30 см
ВМ=АМ-АВ=30-24=6 см
Площади треугольников AML и CDL относятся как квадрат коэффициента их подобия, т.е. как (5/4)²=25/16 

Рассмотрю три решения:

1) Пусть сторона AB = x, тогда AH = 0,5 * x, BH = 2 * (√3) ( по условию )

Тогда по теореме Пифагора: x ² = (0,5 * x) ² + (2 * (√3)) ²

                                                        x ² = (1/4 * x ²) + 4 * 3

                                                        x ² - (x ² / 4) = 12

                                                        (4 * x ² - x ²) / 4 = 12

                                                         3 * x ² = 48

                                                        x ² = 16

                                                        x = 4.

2) Треугольник ABH - прямоугольный, угол BAH = 60°.

sin 60° = BH / AB

AB = BH / sin 60°

AB = (2 * (√3)) / ((√3) / 2)

AB = 4.

 

3) Медианы в равностороннем треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в соотношении 2:1 от вершины. 2/3 часть медианы будет являться радиусом описанной окружности. Значит R = (2 / 3) *   2 * (√3) = (4 * (√3)) / 3.

По теореме синусов:

2R = AB / sin 60°

(2 * 4 * (√3)) / 3 = AB / ((√3) / 2)

AB = (√3) / 2 * (8 * (√3) / 3)

AB = 4.