1) Пряма KO перпендикулярна до діагоналей квадрата ABCD, що перетинаються в точці O. Який вигляд має трикутник KOM, де M — довільна точка відрізка AB?​

Правильный шестиугольник разбивается радиусами, проведенными из его центра к вершинам на шесть правильных треугольников.
Высота этого треугольника - радиус вписанной окружности.
Высота (биссектриса и медиана) образует прямоугольный треугольник с боковой стороной и половиной основания.
Половина основания - х;
боковая сторона - 2х;
по т. Пифагора - 4х²=х²+12²;
х=4√3;
2х=8√3 см - боковая сторона.
Радиус окружности описанной вокруг правильного треугольника - а√3/3, где а - сторона треугольника.
R=8*√3*√3/3=8 см.

В шар вписана правильная треугольная пирамида, длина ребра основания которой равна 6 см. Вычислите расстояние от центра шара до плоскости боковой грани пирамиды, если объём шара равен 256π /3 см³,  а его центр расположен внутри пирамиды.

Обозначим пирамиду КАВС, КН - её высота,                                          АД - диаметр окружности, описанной вокруг основания пирамиды - правильного треугольника АВС, АМ - высота ∆ АВС.

Центр шара -О, ОЕ - искомое расстояние- перпендикуляр к грани КВС . 

Пирамида правильная, следовательно, основание её высоты КН расположено в центре описанной вокруг АВС окружности, а центр шара лежит на ее высоте. 

АМ=АВ*sin 60º=3√3

АН- радиус описанной вокруг ∆ АВС окружности. 

АН=АМ*2/3=2√3

НМ=АМ:3=√3

Объём шара V=4πR³ /3

R³ (шара)=3V/4π

R³=(3*256π:3):4π=64

R=∛64=4

На схеме осевого сечения шара КТ- диаметр шара, 

АД хорда ( диаметр описанной вокруг АВС окружности)

НД=АН=2√3

По свойству хорд АН*НД=КН*НТ

Пусть ОН=х

Тогда KH=R+x, TH=R-x

(2√3)²=(4+x)(4-x)

12=16-x²⇒

х=2 

Рассмотрим прямоугольные ⊿ КНМ и ⊿ КЕО. Они подобны - имеют общий острый угол при К. 

Из подобия следует отношение КО:КМ=ОЕ:НМ

КН=КО+ОН=6

По т.Пифагора 

КМ=√(KH²+MH²)=√(36+3)=√39

4:√39=ОЕ:√3

OE=4√3:√39

OE=4/√13 см