1. Сума кутів опуклого п-кутника дорівнює: а) 180°п – 180°; б) 180°п – 2; в) 360°; г) 180°(п – 2).
2. Знайдіть зовнішній кут опуклого п'ятикутника, всі внутрішні кути
якого рівні.
а) 144°; б) 108°; в) 72°; г) 36°.
3. Скільки діагоналей виходить з однієї вершини дев'ятикутника?
4. Чи існує чотирикутник з найменшим кутом 91°?
5. Скільки діагоналей має шестикутник?
6. Скільки сторін має многокутник, якщо сума його зовнішніх кутів дорівнює сумі
внутрішніх?
7. Знайдіть суму кутів опуклого дев'ятикутника.
8. Визначте кількість сторін опуклого многокутника, сума кутів якого дорівнює 2
520°.

Варіант 2
1. Сума зовнішніх кутів опуклого п -кутника, взятих по одному при
кожній вершині, дорівнює:
а) 180°п – 180°; б) 180°п – 2; в) 360°; г) 180°(п – 2).
2. Знайдіть внутрішній кут опуклого шестикутника, всі зовнішні і кути якого рівні.
а) 60°; б) 120°; в) 150°; г) 180°.
3. Скільки діагоналей виходить з однієї вершини п'ятнадцятикутника?
4. Чи існує чотирикутник з найбільшим кутом 89°?
5. Скільки діагоналей має семикутник?
6. Скільки сторін має многокутник, якщо всі його зовнішні кути прямі?
7. Знайдіть суму кутів опуклого семикутника.
8. Визначте кількість сторін опуклою многокутника, сума кутів якого дорівнює 2
340°.

ΔАВС - равносторонний, по условию С₁О - это отрезок, соединяющий центр О основания АВС с вершиной С₁, и перпендикулрный плоскости основания АВС, значит, пирамида C₁ABC - правильная, но не только, это и правильный тетраэдр, пусть все его стороны равны 1, тогда можно заметить, что в пирамиде С₁АВВ₁А₁ в основании лежит ромб, а её высота падает в точку Н - точку пересечения диагоналей ромба, но её боковые грани состоят из правильных треугольников, а значит, что и их прокеции будут равны и ВАУ! мы получаем в основании квадрат! То есть сама изначальная призма состоит из правильного тетраэдра и правильной четырёхугольной пирамиды, все стороны которых равны по 1.

∠(АА₁;(АВС₁)) = ∠(ВВ₁;(АВС₁))

Рассмотрим пирамиду В₁АВС₁ и возпользуемся методом площадей:

C₁H² + B₁H² = B₁C₁²  ⇒ C₁H = √2/2     ;   S (abc) = √3/2  ;  S (abb₁) = 1/2

См. приложение.  ответ: arcsin(√6/3)

Sin(∠A1AH1) = √6/3. Угол ≈ 54,7°

Объяснение:

Достроим верхнее основание призмы до ромба, проведя A1D1 и C1D1 параллельно B1C1 и A1B1 соответственно. Точка D1 принадлежит плоскости АВС1.

Треугольник А1С1D1 равен треугольнику АВС по трем сторонам по построению.

A1D = CE (высоты равных правильных треугольников).

При а=1.  CE = √3/2 - как высота правильного треугольника.

В треугольнике АВС ОЕ = (1/3)*(√3/2)=√3/6,

СО = (2/3)*(√3/2)=√3/3 по свойству правильного треугольника.

В треугольнике СОС1 по Пифагору:

ОС1 = √(СС1² - СО²) = √(1 - 3/9) = √6/3.

В треугольнике С1ОЕ по Пифагору:

С1Е = √(ОС1² + ОЕ²) =  √(6/9+3/36) = √3/2.

Треугольник CEC1 - равнобедренный.  => Высота к боковой стороне СН = ОС1 = √6/3.

Треугольник АА1D равен треугольнику СС1Е по построению (A1D=CE, AD=C1E). =>  A1H1 = C1O = √6/3.

Угол A1АН1 - искомый угол по определению (AH1 - проекция АА1 на плоскость АВС1.

Sin(∠A1AH1) = AH1/AA1 = √6/3. Угол ≈ 54,7°