1. Сумма гипотенузы прямоугольного треугольника и катета, противоположного углу α, равна 9. Если sin α = 0,5, найдите этот катет. 2. В прямоугольном треугольнике соотношение числовых значений sin α и sin β составляет 6: 8, а сумма катетов равна 21. Если гипотенуза равна 15, найдите значение катета, противоположного углу β.
Точки A-F-C лежат на прямой Симсона точки B относительно треугольника EGD.
Объяснение:
Основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на прямой Симсона.
Точка B лежит на описанной окружности треугольника EGD (прямые углы EBG и EDG опираются на диаметр EG).
A и С - основания перпендикуляров из точки B на стороны треугольника EGD.
Тогда AC - прямая Симсона точки B относительно треугольника EGD.
(Прямая Симсона пересекает сторону EG в точке F, следовательно BF⊥EG)
Пусть в треугольнике АВС угол А равен а, угол с равен ь, проведены биссектрисы AD и СЕ, которые пересекаются в точке О (см. рисунок). Рассмотрим треугольник АОС. Сумма его углов равна 180 градусам, тогда угол АОС равен 180-1/2ВАC-1/2BCA= 180- AC - ECA = 180 - 1/2 (a+b). Угол, под которым пересекаются две прямые это наименьший из углов, которые получаются при их пересечении. Докажем, что угол ЕОА будет меньше угла АОС, тогда угол ЕОА - угол, под которым пересекаются биссектрисы. Действительно, угол ЕОА является смежным с углом АОС, тогда он равен 1/2(a+b). Так как а+ь<180, 1/2(a+b)<90 и 2(a + b) < 180 /2(a+b), то есть, какими бы ни были углы а и ь, угол ЕОА всегда будет меньше угла АОС. Окончательный ответ - 1/2(a+b).