1. Точка М віддалена від кожної із сторін правильного трикутника АВС. Знайти
відстань від точки М до площини АВС, якщо відстань від точки М до сторони
ВС дорівнює 5 см, а сторона трикутника дорівнює 2 кореня з 3 см.

Окружность, описанная около равнобокой трапеции АВСД, описана и около треугольника АСД.
Найдём высоту трапеции (она же и высота треугольника АСД):
Н = √(15² - ((20-2)/2)²) = √(225 - 81) = √ 144 = 12.
Найдём длину стороны АС этого треугольника:
АС = √(12² + (20-2)/2+2)²) = √(144+ 121) = √265 =  16.27882.
Площадь треугольника АСД:
 S = (1/2)*20*12 = 120.
Радиус описанной окружности равен:
R = (abc / 4S) = (15*20* 16.27882) / (4*120) = 
4883.646 / 480 = 10.17426.
В приложении даётся аналог расчёта радиуса и чертёж для пояснения.

Угол А данного треугольника равен 180-60 = 120 градусов.
Опустим из вершины В перпендикуляр на продолжение стороны АС в точку Д.
Получим прямоугольный треугольник ВДА, угол ДАВ равен 180-120=60°, а угол ДВА = 30°.
Отрезок ДА равен половине гипотенузы АВ: ДА = 14 / 2 = 7.
Отрезок ВД = 14*cos30° = 14*(√3/2) = 7√3.
Обозначим основание медианы на стороне ВС точкой Е. Из неё опустим перпендикуляр на сторону АС в точку М.
Отрезок ЕМ равен половине ВД: ЕМ = 7√3 / 2 = 3,5√3.
Находим длину отрезка АМ: АМ = ((30 + 7) / 2) -7 =18,5 - 7 =  11,5
Теперь находим медиану:
АЕ = √(АМ²+ЕМ²) = √(11,5² + (3,5√3)²) = √( 132.25 + 36.75) =
= √169 = 13.