1) точки a и b лежат на двух окружностях с общим центром и радиусами ra=2 см и rb=4 см соответственно. величина ∠aob (o – общий центр окружностей) равна 60∘. найдите расстояние |ab|. ответ запишите в сантиметрах, округлив до сотых
2) два мотылька — большой и маленький — летают вокруг фонаря по круговым траекториям, лежащим в одной плоскости. радиус «орбиты» большого в 2 раза больше, чем радиус орбиты маленького. при этом период движения большого мотылька tb=9 с, а период движения маленького ts=4 с. в некоторый момент времени мотыльки оказались на минимальном возможном (для этих траекторий) расстоянии друг от друга. во сколько раз увеличится это расстояние к моменту времени t=6 с? ответ запишите в виде десятичной дроби с округлением до сотых.
3) на практически плоском и горизонтальном участке поверхности земли выбрана система координат, в которой ось x направлена с запада на восток, а ось y — с юга на север. ковбой проскакал 6 км в направлении, составляющим угол φ< 360∘ с осью x (угол отсчитывается против часовой стрелки), повернул налево под прямым углом и проскакал еще 8 км. при этом координата конечной точки его маршрута xf=−5 км, а yf> 0. найдите φ в градусах, округлив до десятых
В треугольнике aob у нас есть сторона ao равная радиусу окружности a, то есть равна 2 см, сторона bo равная радиусу окружности b, то есть равна 4 см, и угол aob, равный 60°.
Мы можем использовать теорему косинусов:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)
Где c - сторона ab, a - сторона ao, b - сторона bo, C - угол aob.
Подставляя значения в формулу, получаем:
c^2 = 2^2 + 4^2 - 2 * 2 * 4 * cos(60°)
c^2 = 4 + 16 - 16 * cos(60°)
c^2 = 20 - 16 * 0.5
c^2 = 20 - 8
c^2 = 12
c = √12 = 2√3 см
Ответ: Расстояние |ab| равно 2√3 см, что примерно равно 3.46 см (округляем до сотых).
2) Для решения этой задачи мы можем использовать пропорции и периоды движения.
Пусть "R" - радиус орбиты маленького мотылька. Тогда радиус орбиты большого мотылька будет равен "2R" (так как он в два раза больше).
По формуле для периода движения T в круговой траектории:
T = 2πR/V
Где R - радиус орбиты, V - скорость.
Так как скорость постоянна, то для маленького мотылька T_s = 2πR/V_s, а для большого мотылька T_b = 2π(2R)/V_b.
Также известно, что T_b = 9 с и T_s = 4 с.
Мы можем составить пропорцию:
T_s / T_b = 2πR / (2π(2R))
T_s / T_b = R / (2R)
T_s / T_b = 1 / 2
Теперь найдем отношение расстояний на орбитах маленького и большого мотыльков. Это отношение будет такое же, как отношение радиусов:
d_s / d_b = R / (2R)
d_s / d_b = 1 / 2
Итак, мы знаем, что в некоторый момент времени мотыльки оказались на минимальном возможном расстоянии друг от друга. Это расстояние на орбите маленького мотылька, то есть d_s.
Нам нужно найти, во сколько раз увеличится это расстояние к моменту времени t = 6 с.
Так как период движения маленького мотылька составляет 4 с, то к моменту времени 6 с мотыльки сделают 1,5 полных оборота (6 / 4 = 1,5).
Значит, расстояние d_s увеличится в 1,5 раза, так как оно пропорционально периоду движения.
Ответ: Это расстояние увеличится в 1,5 раза.
3) Для решения этой задачи мы можем использовать тригонометрию и связанные углы.
Из условия задачи мы знаем, что ковбой проскакал 6 км в направлении, составляющим угол φ с осью x. Затем он повернул налево под прямым углом и проехал еще 8 км. Координата конечной точки его маршрута xf равна -5 км, а yf больше 0.
Мы можем разложить перемещение по осям x и y и использовать тригонометрию.
По оси x ковбой проехал 6 км, а по оси y проехал 8 км. Это составляет прямоугольный треугольник, где сторона, направленная на восток, равна 6 км, а сторона, направленная на север, равна 8 км.
Мы можем использовать тангенс угла φ, чтобы найти его значение:
tan(φ) = противолежащий катет / прилежащий катет
tan(φ) = 8 / 6
tan(φ) = 4 / 3
φ = arctan(4/3) (в градусах)
Нам остается только вычислить значение этого угла. Используя калькулятор, находим:
φ ≈ 53.13°
Ответ: Угол φ равен примерно 53.1° (округляем до десятых).