1)Точки А и В лежат вне плоскости α. Из точек А и В проведены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к плоскости α, причем прямые АВ и А1В1 параллельны. Докажите, что АА1В1В – прямоугольник.
2)Через сторону АВ ромба ABCD проходит плоскость α так, что ВС ⊥ α. Докажите, что ABCD – квадрат.
3)Точка М лежит вне плоскости равностороннего треугольника АВС, МА = МВ = МС. О – центр треугольника АВС. Докажите, что прямая МО перпендикулярна плоскости АВС решить
Поскольку прямые АВ и А1В1 параллельны, то у них одинаковый наклон. Поскольку АА1 и ВВ1 являются перпендикулярными к плоскости α, они перпендикулярны и к прямым АВ и А1В1. Это означает, что АА1 и ВВ1 также параллельны.
Чтобы показать, что стороны АА1 и ВВ1 равны, мы можем использовать свойство параллелограмма. Если прямые АВ и А1В1 параллельны, и АА1 и ВВ1 также параллельны, то АА1В1В является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому АА1 = ВВ1 и АВ = А1В1.
Поскольку стороны АВ и В1В равны, а стороны АА1 и ВВ1 также равны, мы можем заключить, что АА1В1В – прямоугольник.
2) Для доказательства того, что ABCD – квадрат, нам необходимо показать, что все его стороны равны и его углы прямые.
Поскольку ВС ⊥ α, это означает, что прямая ВС перпендикулярна к плоскости α. Ромб ABCD имеет две параллельные стороны AB и CD, и также две перпендикулярные стороны BC и AD.
Поскольку плоскость α проходит через сторону АВ ромба и перпендикулярна к ВС, она будет параллельна к сторонам BC и AD. Это означает, что AD ⊥ α и BC ⊥ α. Таким образом, углы A и C прямые.
Теперь мы должны показать, что стороны AB и BC равны. Поскольку ABCD – ромб, его все стороны равны. Нам нужно показать, что AB = BC. Это можно сделать, зная, что ВС ⊥ α и стороны AB и AD перпендикулярны друг другу в точке B. На основании этого, мы можем заключить, что треугольник BCD – прямоугольный треугольник, и поэтому его стороны BC и BD равны. Таким образом, AB = BC.
Таким образом, у нас есть все необходимые условия для того, чтобы заключить, что ABCD – квадрат. Все его стороны равны, а его углы прямые.
3) Чтобы доказать, что прямая МО перпендикулярна плоскости АВС, нам нужно использовать свойство центра равностороннего треугольника.
Так как МА = МВ = МС и О – центр треугольника АВС, то каждая из точек М, А и В находится на одинаковом расстоянии от точки О.
Возьмем в расчет две точки, М и О, и представим, что О – это центр окружности радиусом МО. Мы знаем, что все точки на окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра.
Теперь предположим, что плоскость АВС не перпендикулярна МО. Это значит, что она пересекает плоскость, образованную окружностью с центром О и радиусом МО.
Такое пересечение означает, что есть точки, находящиеся на одинаковом расстоянии от О, но не находящиеся в плоскости АВС, что противоречит условию задачи.
Таким образом, мы пришли к выводу, что прямая МО перпендикулярна плоскости АВС.