1)Точки А и В лежат вне плоскости α. Из точек А и В проведены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к плоскости α, причем прямые АВ и А1В1 параллельны. Докажите, что АА1В1В – прямоугольник.
2)Через сторону АВ ромба ABCD проходит плоскость α так, что ВС ⊥ α. Докажите, что ABCD – квадрат.
3)Точка М лежит вне плоскости равностороннего треугольника АВС, МА = МВ = МС. О – центр треугольника АВС. Докажите, что прямая МО перпендикулярна плоскости АВС решить
Так как боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны, то проще её представить с этими рёбрами по осям координат, а вершину в начале координат.
Пусть SA по оси Oz, SB по оси Oy, SC по оси Ox.
Координаты вершин: A(0; 0; 2), B(0; 4; 0), C(3; 0; 0), S(0; 0; 0).
Находим векторы: SA(0; 0; 2), SB(0; 4; 0), SC(3; 0; 0).
Их смешанное произведение равно:
0 0 2| 0 0
0 4 0| 0 4
3 0 0| 3 0 = 0 + 0 + 0 - 0 - 0 - 24 = -24.
Объём пирамиды равен V = (1/6)|-24| = 4 куб.ед.
Находим векторы по точкам A(0; 0; 2), B(0; 4; 0), C(3; 0; 0)
AB = (0; 4; -2), модуль равен √(0² + 4² + (-2)²) = √20 = 2√5.
AC = (3; 0; -2), модуль равен √(3² + 0² + (-2)²) = √13.
Определим площадь треугольника АВС как половину модуля векторного произведения векторов АВ и АС.
i j k| i j
0 4 -2| 0 4
3 0 -2| 3 0 = -8i - 6j + 0k - 0j - 0 i - 12k = -8i - 6j - 12k.
S = (1/2)√((-8)² + (-6)² + (-12)²) = (1/2)√(64+36+144) = (1/2)√244 = √61 кв. ед.
Можно получить ответ по формуле:
H = 3V/S = 3*4/√61 = 12/√61 = 12√61/61 ≈ 1,536.
M - точка пересечения медиан
Медианы делятся точкой пересечения 2:1 от вершины.
AM:MD =CM:MK =2:1
AM=10; MD=5; CM =4; MK=2
Определим, какая из сторон ABC равна 6.
В треугольнике сумма двух сторон всегда больше третьей (неравенство треугольника).
△AMC: AC+CM>AM => AC>10-4 => AC>6
△AMK: AK+MK>AM => AK>10-2 => AK>8 => AB>8
Следовательно только сторона BC может быть равна 6.
BC=6, CD=3, △MDC - египетский (3:4:5) => BCK=90°
△BCK: BC=CK=6; BK=6√2 (т Пифагора) => AB=12√2
Продлим BC, AE||CK, E=90
△BEA~△BCK, k=AB/BK =2
CE=BC=6; AE=2CK=12
△ACE: AC =√(AE^2 +CE^2) =6√5