1. У конус вписана правильна чотирикутна піраміда. Твірна конуса дорівнює 3 см. Твірна з площиною основи утворює кут α. Обчисли об'єм конуса.
2. У кулю вписано циліндр, діагональ осьового перерізу якого нахилена до площини основи під кутом 57° . Обчислити радіус і об'єм кулі, якщо висота циліндра дорівнює 18 см .
По ф.Герона:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр треугольника, a, b и с - его стороны.
р-(37+37+24):2=49
S=√[49•12•12•25]=7•12•5=420 (ед. площади)
Опустим высоту на основание. Высота равнобедренного треугольника, проведенная между равными сторонами, делит его на два равных прямоугольных, в которых боковые стороны треугольника - гипотенузы, высота и половина основания - катеты. .
Тогда по т.Пифагора
h=√(37²-(24/2)²)=35
S=h•a/2=35•24/2=420 (ед. площади).
Рассмотрим треугольник, образованный диагоналями и меньшей стороной прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Таким образом этот треугольник равнобедренный с основанием, совпадающим с меньшей стороной прямоугольника.
Если обозначить угол меньшего треугольника напротив основания за а, то а=180-х-х=180-2х по теореме о сумме углов в треугольнике. С другой стороны, этот угол смежный с углом, обозначенным как у, то есть а=180-у. Таким образом, 180-у=180-2х, или 2х=у.
Сопоставляя выражения 2х=у и х=у-70, получаем систему уравнений, откуда находим искомый угол х = 70.
ответ: х=70°