1) Углы АВС и АDС вписанные углы одной окружности. Равны ли эти углы ?
а) нет
б) да
в) нельзя ответить
г) необязательно
2) Вписанный угол АВС равен 40о. Чему равна дуга АС ?
а) 90 градусов
б) 80 градусов
в) 40 градусов
г) 20 градусов
3) Вписанным углом называется угол …
а) вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность
б) стороны которого пересекают окружность
в) вершина которого лежит на окружности
г) вершина которого лежит в центре окружности
4) Каким углом, острым, прямым или тупым , является вписанный угол , если одна из его сторон проходит через центр окружности ?
а) тупой
б) нельзя определить
в) острый
г) прямой
5) Центральный и вписанный угол опираются на одну и ту же дугу. Вписанный угол равен 70о. Чему равен центральный угол.
а) 140 градусов
б) 35 градусов
в) 110 градусов
г) 70 градусов
6) Могут ли быть равными два вписанных в одну окружность угла, если они не опираются на одну и ту же дугу ?
а) нет
б) да
в) нельзя ответить
г) не обязательно
7) Найдите градусную меру дуги, которую описывает конец минутной стрелки за 25 минут.
а) 100 градусов
б) 120 градусов
в) 150 градусов
г) 170 градусов
8) Чему равен вписанный угол окружности, опирающийся на дугу, которая составляет 1/5 окружности ?
а) 36 градусов
б) 90 градусов
в) 72 градуса
г) 144 градуса
9) Центральным углом окружности называется угол …
а) стороны которого пересекают окружность
б) вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекает окружность
в) вершина которого лежит в центре окружности
г) вершина которого лежит на окружности
10) Дуга АС равна 60 градусов . Чему равен угол АОС, где О – центр окружности ?
а) 30 градусов
б) 60 градусов
в) 120 градусов
г) 180 градусов
11) Хорды окружности АВ и СD пересекаются в точке М так, что СМ = 4 и МD = 3 . Хорда АВ = 8 .
Найдите отрезки АМ и ВМ.
а) 2 и 6
б) 3 и 5
в) 4 и 4
г) 2,5 и 5,5
12) Центральный угол АОВ = 110 градусов. Чему равен угол ОАВ ?
а) 30 градусов
б) 35 градусов
в) 45 градусов
г) 70 градусов
13) Чему равен центральный угол окружности, опирающийся на дугу, которая составляет 5/6 окружности ?
а) 90 градусов
б) 60 градусов
в) 150 градусов
г) 300 градусов
14) Хорды окружности АС и DК пересекаются в точке Е так, что СЕ = 9 , AЕ = 4 , DЕ = 6.
Чему равен отрезок ЕК ?
а) 4
б) 9
в) 12
г) 6
15) Чему равен центральный угол , если он на 40о больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу, что и центральный угол ?
а) 20 градусов
б) 40 градусов
в) 80 градусов
г) 120 градусов
16) Каким углом, острым, прямым или тупым , является вписанный угол АВС , если хорда АС проходит через центр окружности ?
а) тупой
б) прямой
в) острый
г) нельзя ответить
Объяснение:
Пусть дан ΔАВС, В - вершина треугольника, АС - основание ΔАВС,
АВ =ВС, ∠А и ∠С - углы при основании.
1) Внешний угол при вершине равнобедренного ΔАВС (обозначим его как β) и внутренний ∠В - смежные углы, и их сумма равна 180° .
Значит, внешний угол β = 180° - ∠В.
2) сумма углов треугольника = 180 °. Следовательно ,
∠А + ∠ В + ∠С = 180°, откуда ∠ В = 180° - ∠А - ∠С, но т.к. ΔАВС - равнобедренный, и значит, ∠А = ∠С, получаем:
∠ В = 180° - 2∠А
Подставим это выражение в формулу для внешнего угла β, получим:
β = 180° - 180° +2∠А
β= 2∠А, ч. т. д.
См. Объяснение
Объяснение:
№ 1
1) Равные углы:
∠2 =∠10 - как углы соответственные;
∠3 = ∠8 - как углы соответственные;
∠6 = ∠9 - как углы вертикальные;
∠7 = ∠10 - как углы вертикальные;
∠8 = ∠5 - как углы вертикальные.
2) Суммы следующих углов равны 180°:
∠8 +∠9+∠10 = 180° - так как 3 этих угла образуют развёрнутый угол;
∠9 +∠10+∠5 = 180° - так как 3 этих угла образуют развёрнутый угол;
∠7 +∠6+∠5 = 180° - так как 3 этих угла образуют развёрнутый угол;
∠6 +∠8+∠9 = 180° - так как 3 этих угла образуют развёрнутый угол;
∠1 +∠2 = 180° - так как 2 этих угла образуют развёрнутый угол;
∠3 +∠4 = 180° - так как 2 этих угла образуют развёрнутый угол.
3) Из приведённых рассуждений о равенстве углов следует доказательство теоремы о сумме внутренних углов треугольника.
Приведём это доказательство.
Дан треугольник, внутренние углы которого ∠2, ∠ 3 и ∠6.
Необходимо доказать, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°, то есть ∠2 + ∠ 3 +∠6 = 180°.
Для доказательства через вершину ∠6 проведём прямую а, параллельную прямой b, и продолжим стороны треугольника за линию а. Рассмотрим образовавшиеся углы ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, ∠9, 10.
∠2 = ∠10 - как углы соответственные при параллельных прямых a и b и секущей (1-9);
∠3 = ∠8 - как углы соответственные при параллельных прямых a и b и секущей (9-4);
∠6 = ∠9 - как углы вертикальные.
∠8 +∠9+∠10 = 180° - так как 3 этих угла образуют развёрнутый угол,
при этом ∠8 =∠3, ∠9 = ∠6, ∠10 = ∠2, - значит, в приведённом равенстве:
∠8 можно заменить на ∠3,
∠9 можно заменить на ∠6,
∠10 можно заменить на ∠2.
Получаем:
∠3 +∠6+∠2 = 180°, что и требовалось доказать.
Таким образом, сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
№ 2
Да, можно утверждать, что величина ∠ 1 = ∠3 + ∠6.
1) ∠1 - это внешний угол по отношению к данному треугольнику;
2) ∠1 является смежным с ∠2, значит их сумма равна 180°:
∠2 + ∠1 = 180°
3) Так как сумма внутренних углов треугольника равна 180°, то:
∠2 + ∠3 + ∠6 = 180°
4) Сравним два полученных равенства:
∠2 + ∠1 = 180° - равенство, приведённое в пункте 2;
∠2 + ∠3 + ∠6 = 180° - равенство, приведённое в пункте 3.
Можно заметить, что к одному и тому же ∠2 прибавляем в первом случае ∠1, а во втором случае - ∠3 и ∠6, и в обоих случаях получаем один и тот же ответ: 180°.
Это возможно только тогда, когда:
∠ 1 = ∠3 + ∠6.
Мы доказали, что Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с данным внешним углом.