1) Угол между векторами a и b равен 60°. Найдите абсолютную величину вектора 2 а - b , если |а|=4 и |b|=2.
а) 10; в) 5√2 ;
б) 2√13;
2. Найдите длину AK – медианы треугольника ABC, если A (7;5;-1),
B (-3;2;6), C (9;0;-12).
а) 3√6 ; в) 6;
б) 2√6 ;
3. Какой из данных углов наибольший, если A(2;0;1), B(0;-1;4), C(3;-1;-2),
D (0; 2;0).
а) ABC ; в) CDA;
б) BCD ; г) DAB
1) Угол между векторами a и b равен 60°. Найдите абсолютную величину вектора 2а - b, если |а| = 4 и |b| = 2.
Первым делом нам нужно найти значения векторов a и b. У нас уже есть абсолютные значения этих векторов: |а| = 4 и |b| = 2.
Зная абсолютные значения векторов a и b, мы можем найти их компоненты. Обозначим компоненты вектора a как (a₁, a₂, a₃), а компоненты вектора b как (b₁, b₂, b₃).
Так как |а| = 4, то мы можем использовать формулу для нахождения абсолютной величины вектора:
|а| = sqrt(a₁² + a₂² + a₃²) = 4
Аналогично, для вектора b:
|b| = sqrt(b₁² + b₂² + b₃²) = 2
Теперь нам нужно найти значения компонентов a и b. У нас есть только абсолютные значения, поэтому нам нужно воспользоваться другой информацией. У нас дано, что угол между векторами a и b равен 60°.
Мы знаем, что скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных значений и косинусу угла между ними:
а ∙ b = |а| * |b| * cos(θ)
где θ - угол между векторами a и b.
В нашем случае, |а| = 4, |b| = 2 и θ = 60°:
а ∙ b = 4 * 2 * cos(60°) = 8 * 0.5 = 4
Теперь, чтобы найти значения компонент a и b, мы можем воспользоваться формулой для скалярного произведения векторов:
а ∙ b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + a₃ * b₃
Подставляем известные значения:
4 = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + a₃ * b₃
Мы также знаем, что угол между a и b равен 60°:
cos(60°) = (a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + a₃ * b₃) / (|а| * |b|)
Теперь мы можем найти значения компонентов a и b, используя известные значения:
1/2 = (a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + a₃ * b₃) / (4 * 2)
1/2 = (a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + a₃ * b₃) / 8
1 = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + a₃ * b₃
Теперь у нас есть два уравнения: 4 = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + a₃ * b₃ и 1 = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + a₃ * b₃.
Для решения этой системы уравнений мы можем вычесть из первого уравнения второе:
4 - 1 = (a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + a₃ * b₃) - (a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + a₃ * b₃)
3 = 0
Таким образом, получаем, что 3 = 0, что является невозможным уравнением. Из этого следует, что первый вариант ответа, 10, неверен.
Таким образом, правильный ответ в данной ситуации - 5√2.
Теперь давайте перейдем ко второму вопросу.
2) Найдите длину AK – медианы треугольника ABC, если A (7;5;-1), B (-3;2;6), C (9;0;-12).
Сначала нам необходимо найти координаты точки K - середины стороны BC.
Координаты точки K - это среднее арифметическое координат B и C. Используя формулу для нахождения среднего арифметического, получаем:
xₖ = (x₃ + x₂) / 2
yₖ = (y₃ + y₂) / 2
zₖ = (z₃ + z₂) / 2
Подставляем известные значения:
xₖ = (9 + (-3)) / 2 = 6 / 2 = 3
yₖ = (0 + 2) / 2 = 2 / 2 = 1
zₖ = (-12 + 6) / 2 = -6 / 2 = -3
Теперь мы знаем координаты точки K: K (3; 1; -3).
Чтобы найти длину медианы AK, нам нужно найти длину вектора AK. Формула для нахождения абсолютной величины вектора:
|AK| = sqrt((xₐ - xₖ)² + (yₐ - yₖ)² + (zₐ - zₖ)²)
Подставляем известные значения:
|AK| = sqrt((7 - 3)² + (5 - 1)² + (-1 - (-3))²)
|AK| = sqrt(4² + 4² + 2²)
|AK| = sqrt(16 + 16 + 4)
|AK| = sqrt(36)
|AK| = 6
Таким образом, длина медианы AK равна 6.
Правильный ответ в данном случае - 6.
Теперь перейдем к третьему вопросу.
3) Какой из данных углов наибольший, если A(2;0;1), B(0;-1;4), C(3;-1;-2), D (0; 2;0)?
Чтобы определить, какой из данных углов (ABC, CDA, BCD, DAB) наибольший, нам нужно найти значения косинусов этих углов.
Формула для нахождения косинуса угла между двумя векторами:
cos(θ) = (а ∙ b) / (|а| * |b|)
Где a и b - векторы, а ∙ b - скалярное произведение векторов, |а| и |b| - их абсолютные значения.
Мы можем использовать эту формулу для нахождения косинусов углов ABC, CDA, BCD и DAB.
1) Угол ABC:
а = AB = B - A
|а| = sqrt((xᵇ - xᵃ)² + (yᵇ - yᵃ)² + (zᵇ - zᵃ)²) = sqrt((0 - 2)² + (-1 - 0)² + (4 - 1)²) = sqrt((-2)² + (-1)² + 3²) = sqrt(4 + 1 + 9) = sqrt(14)
b = BC = C - B
|b| = sqrt((xᶜ - xᵇ)² + (yᶜ - yᵇ)² + (zᶜ - zᵇ)²) = sqrt((3 - 0)² + (-1 - (-1))² + (-2 - 4)²) = sqrt(3² + 0² + (-6)²) = sqrt(9 + 0 + 36) = sqrt(45) = 3√5
а ∙ b = (xᵇ - xᵃ) * (xᶜ - xᵇ) + (yᵇ - yᵃ) * (yᶜ - yᵇ) + (zᵇ - zᵃ) * (zᶜ - zᵇ) = (-2) * (3 - 0) + (-1) * (-1 - (-1)) + 3 * (-2 - 4) = -6 + 0 + (-18) = -24
cos(θ) = (-24) / (sqrt(14) * 3√5) = (-24) / (3 * sqrt(14 * 5)) = (-8) / sqrt(14 * 5) = (-8 * sqrt(14 * 5)) / (14 * 5) = (-8 * sqrt(70)) / 70 = -4 * sqrt(70) / 35
2) Угол CDA:
а = CD = D - C
|а| = sqrt((xᵈ - xᶜ)² + (yᵈ - yᶜ)² + (zᵈ - zᶜ)²) = sqrt((0 - 3)² + (2 - (-1))² + (0 - (-2))²) = sqrt((-3)² + 3² + 2²) = sqrt(9 + 9 + 4) = sqrt(22)
b = DA = A - D
|b| = sqrt((xᵃ - xᵈ)² + (yᵃ - yᵈ)² + (zᵃ - zᵈ)²) = sqrt((2 - 0)² + (0 - 2)² + (1 - 0)²) = sqrt(2² + (-2)² + 1²) = sqrt(4 + 4 + 1) = sqrt(9) = 3
а ∙ b = (xᵈ - xᶜ) * (xᵃ - xᵈ) + (yᵈ - yᶜ) * (yᵃ - yᵈ) + (zᵈ - zᶜ) * (zᵃ - zᵈ) = (-3) * (2 - 0) + (2 - (-1)) * (0 - 2) + (0 - (-2)) * (1 - 0) = -6 + 6 + 2 = 2
cos(θ) = 2 / (sqrt(22) * 3) = 2 / (3 * sqrt(22)) = 2 / (3 * sqrt(2 * 11)) = 2 / (6 * sqrt(11)) = 1 / (3 * sqrt(11))
3) Угол BCD:
а = BC = C - B
|а| = sqrt((xᶜ - xᵇ)² + (yᶜ - yᵇ)² + (zᶜ - zᵇ)²) = sqrt((3 - 0)² + (-1 - (-1))² + (-2 - 4)²) = sqrt(3² + 0² + (-6)²) = sqrt(9 + 0 + 36) = sqrt(45) = 3√5
b = CD = D - C
|b| = sqrt((xᵈ - xᶜ)² + (yᵈ - yᶜ)² + (zᵈ - zᶜ)²) = sqrt((0 - 3)² + (2 - (-1))² + (0 - (-2))²) = sqrt((-3)² + 3² + 2²) = sqrt(9 + 9 + 4) = sqrt(22)
а ∙ b = (xᶜ - xᵇ) * (xᵈ - xᶜ) + (yᶜ - yᵇ) * (yᵈ - yᶜ) + (zᶜ - zᵇ) * (zᵈ - zᶜ) = (3 - 0) * (0 - 3) + (-1 - (-1)) * (2 - (-1)) + (-2 - 4) * (0 - (-2)) = 9 * (-3) + 0 * 3 + (-6) * 2 = -27 + 0 + (-12) = -39
cos(θ) = (-39) / (3√5 * sqrt(22)) = (-39) / sqrt(3² * (5 * 22)) = (-39) / (3 * sqrt(5 * 22)) = (-13) / (sqrt(5 * 22))
4) Угол DAB:
а = DA = A - D
|а| = sqrt((xᵃ - xᵈ)² + (yᵃ - yᵈ)² + (zᵃ - zᵈ)²) = sqrt((2 - 0)² + (0 - 2)² + (1 - 0)²) = sqrt(2² + (-2)² + 1²) = sqrt(4 + 4 + 1) = sqrt(9) = 3
b = AB = B - A
|b| = sqrt((xᵇ - xᵃ)² + (yᵇ - yᵃ)² + (zᵇ - zᵃ)²) = sqrt((0 - 2)² + (-1 - 0)² + (4 - 1)²) = sqrt((-2)² + (-1)² + 3²) = sqrt(4 + 1 + 9) = sqrt(14)
а ∙ b = (xᵃ - xᵈ) * (xᵇ - xᵃ) + (yᵃ - yᵈ) * (yᵇ - yᵃ) + (zᵃ - zᵈ) * (zᵇ - zᵃ) = (2 - 0) * (0 - 2) + (0 - 2) * (-1 - 0) + (1 - 0) * (4 - 1) = 2 * (-2) + (-2) * (-1) + 1 * 3 = -4 + 2 + 3 = 1
cos(θ) = 1 / (3 * sqrt(14)) = 1 / (3 * sqrt(2 * 7)) = 1 / (6 * sqrt(7))
Теперь, чтобы определить, какой из углов наибольший, нам нужно сравнить значения косинусов углов ABC, CDA, BCD и DAB.
Сравним значения косинусов углов Ответ: г) DAB