1. В цилиндре радиуса 13 см проведено параллельное оси сечение, отстоящее от неё на расстоянии 5 см. Найти высоту цилиндра,
если площадь указанного сечения равна 96 см^2.
2. Высота конуса 8 см, радиус его основания 4 см. Найти
площадь сечения, проведённого через вершину конуса и хорду
основания, если расстояние от неё до центра основания
конуса равно 3 см.
3. Шар, радиус которого 15 см, пересечен плоскостью на расстоянии 5 см от
центра шара. Найдите площадь сечения.
Доказательство будет состоять из нескольких шагов.
Шаг 1: Покажем, что отрезок B1C1 параллелен отрезку AD.
Изображение куба нам дает следующую информацию:
- Основание ABCD является параллелограммом, так как противоположные стороны равны и параллельны.
- Основание A1B1C1D1 также является параллелограммом, так как противоположные стороны равны и параллельны.
- Линия B1C1 проходит через точку B1, которая является симметричной с точкой A относительно центра куба (O).
Из этих фактов следует, что отрезок B1C1 параллелен отрезку AD.
Шаг 2: Покажем, что отрезок B1D параллелен отрезку C1D1.
Изображение куба также нам даёт следующую информацию:
- Линия B1D проходит через точку B1 и точку D, которая является симметричной с точкой C1 относительно центра куба (O).
Из этого факта следует, что отрезок B1D параллелен отрезку C1D1.
Шаг 3: Покажем, что отрезки B1D и D1C перпендикулярны.
Мы уже установили, что отрезок B1D параллелен отрезку C1D1. Если две прямые линии параллельны, а третья линия перпендикулярна одной из них, то она также перпендикулярна и к другой прямой. Таким образом, поскольку B1D параллелен C1D1, а B1D перпендикулярна B1D (по построению), мы можем заключить, что B1D также перпендикулярна к D1C.
Таким образом, мы успешно доказали, что B1D перпендикулярна к D1C, используя свойства параллелограммов и факты о симметрии куба относительно его центра.
Обратимся к рисунку 102. Заметим, что углы DАD1 и RВ1А1 являются соответственными углами и, следовательно, они равны между собой.
Также заметим, что углы RВ1А1 и МDА являются вертикальными и, следовательно, они равны между собой.
Из условия задачи известно, что DА = 8 см, ВВ1 = 18 см, и АА1 = DB.
Для дальнейшего решения задачи, нам необходимо найти значение отрезка АА1.
Так как углы DАD1 и МDА равны между собой, мы можем записать соответствующие стороны этих углов в пропорции:
DА / МDА = DА1 / D1М
Используем известные значения: DА = 8, DА1 = АА1 и МDА = ВВ1 + DВ
Подставив значения, получим пропорцию:
8 / (ВВ1 + DВ) = АА1 / D1М
Теперь заметим, что углы RВ1А1 и МDР являются соответственными углами и, следовательно, они равны между собой.
Это значит, что стороны АА1 и MD должны быть пропорциональны сторонам ВВ1 и МР.
Таким образом, мы можем записать следующую пропорцию:
АА1 / MD = ВВ1 / МР
Подставив известные значения, получим:
АА1 / (ВВ1 + DВ) = ВВ1 / МР
С нашей первой пропорцией мы можем получить выражение для АА1:
АА1 = D1М * ВВ1 / (ВВ1 + DВ)
Подставим известные значения:
АА1 = (ВВ1 + 8) * ВВ1 / (ВВ1 + 18)
Теперь можем подставить известные значения:
АА1 = (18 + 8) * 18 / (18 + 18)
АА1 = 26 * 18 / 36
АА1 = 13 * 2
АА1 = 26
Итак, длина отрезка АА1 равна 26 см.