1. В колі проведені радіуси OА і OВ. Знайдіть градусну міру кута АОВ, якщо
відповідна йому дуга дорівнює 70°.
А) 290°; Б) 140°;
В) 35°; Г) 70°.
2. В прямокутному трикутнику АВС, ВС = 35 см, АВ = 10 см. Знайдіть
АВС.
А) 60°; Б) 30°;
В) 45°; Г) 90°.
3. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її менша основа дорівнює 5 см і
становить 3
1
її більшої основи.
А) 5 см; Б) 15 см;
В) 9 см; Г) 10 см.
4. Точки М і Р лежать відповідно на бічних сторонах АВ і ВС рівнобедреного
трикутника АВС, причому МР || АС. Знайдіть периметр АВС, якщо
МР = 4 см, МВ = 5 см, АС = 12 см.
А) 27 см; Б) 42 см;
В) 31,2 см; Г) 36 см.
5. Знайдіть діагональ прямокутника, якщо одна з його сторін дорівнює 8 см, а
периметр дорівнює 46 см.
А) 17 см; Б) 23 см;
В) 20 см; Г) 38 см
Якщо провести у чотирикутнику і іншу діагональ (ВД), то аналогічно отримаємо, що МК || NP.
Отже отримали чотирикутник МNPK у якому сторони попарно паралельні, як відомо такий чотирикутник - це паралелограм, а у паралелограма протилежні кути - рівні, що й треба було довести.
R - радиус описанной окружности, r- радиус вписанной окружности.
Начнём с описанной окружности. Поскольку угол С прямой, то этот угол опирается на диаметр окружности, т.е. диаметр окружности есть его гипотенуза, и. с = 2R
Теперь вписанная окружность. Опустим из её центра на катеты перпендикуляры, эти перпендикуляры равны r- радиусу вписанной окружности. Два взаимно перпендикулярных радиуса r и отрезки катетов, прилежащих к вершине прямого угла С, образуют квадрат со стороной r.
Тогда отрезки катетов, прилегающих к вершинам острых углов, равны
(а - r) и (b - r).
Третий перпендикуляр, опущенный из центра окружности на гипотенузу делит её на отрезки, равные (а - r) и (b - r).
Получается, что гипотенуза равна c = a - r + b - r = a + b - 2r.
Но ранее мы получили, что с = 2R
Тогда 2R = a + b - 2r
2R + 2r = a + b
R + r = 0.5(a + b) что и требовалось доказать.