1) В правильном тетраэдре АВCD проведена высота DH к грани АВС. Длина ребра АС = 1. Найти:

а) высоту DH (при этом нужно сначала доказать, что точка Н лежит на определенной характерной линии в треугольнике АВС);

б) расстояния от точки H до точек А, В, С;

в) расстояния от точки H до ребер АВ, АС, DC;

г) величины двугранных углов тетраэдра;

1’)

Проверить (доказать) – пересекаются ли все высоты правильного тетраэдра в одной точке. Найти расстояния от этой точки до вершин, ребер и граней тетраэдра.

2)

В тетраэдре ABCD точки M, N, P являются серединами ребер AB, BC и CD, причем AC = 10 см, BD = 12 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину K ребра AD, и найдите периметр четырехугольника, полученного при пересечении тетраэдра с плоскостью MNP.

3)

Докажите, что в тетраэдре ABCD (любом) все отрезки, соединяющие середины противоположных ребер (пары ребер AB и DC, AC и BD, AD и BC) пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Все рёбра треугольной пирамиды равны. Найти угол наклона:

а) Бокового ребра к плоскости основы.

б) боковой грани к площине основы/

Объяснение:

АВСМ -пирамида, пусть ребро равно х.

a)Угол наклона бокового ребра к плоскости основания это ∠МАО.

Т.к АВ=ВС=АС, то высота проецируется в центр основания О , точку пересечения медиан.Тогда АО=2/3*АН, где АН медиана, ВН=х/2 .

Из ΔАВН-прямоугольного, АН=√(х²-х²/4)=(х√3)/2. Тогда АО=( х√3)/3.

ΔАОМ-прямоугольный,  cos∠МАО=АО/АМ , cos∠МАО=( х√3)/3:х=√3/3,

∠МАО=arccos(√3/3) .

ОМ=√(х²-( х√3)/3)² )=(х√6)/3

б)В равностороннем ΔАВС , медиана АН является высотой . Тогда МН⊥ВС по т. о трех перпендикулярах и ∠АНМ-линейный угол между боковой гранью и плоскостью основания.

ОН=1/3*АН , ОН=(х√3)/6.

ΔОНМ-прямоугольный ,tg∠AHM=MO/OH , tg∠AHM=2√2 , ∠AHM=arctg(2√2).

2) MN = 12; sina = 12/13; cosa = 5/13; tga = 2,4

3) KN = 12; KM = 37; MN = 35; sina = 35/37; cosa = 12/37; tga = 35/12

4) смотри решение

Объяснение:

2) по т. Пифагора:

MN^2 = MK^2 - KN^2

MN^2 = 13^2 - 5^2 = 169 -25 = 144, значит MN = 12

cosa - отношение прилежащего катета (тип угол касается катета) к гипотенузе:

cosa = KN/MK = 5/13

sina - отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sina = MN/MK = 12/13

tga = sina/cosa = MN/KN = 12/5 = 2,4

3) MN в р/б треугольнике (KM=ME) является высотой, а, значит и медианой, значит NE = KN

по т. пифагора:

KM = √MN^2 + kn^2 = 35^2 + 12^2 = 37

MN дана по условию (35) или я чего-то не понял

sina = MN/MK = 35/37

cosa = KN/MK = 12/37

tga = MN/KN = 35/12

4) катет напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы:

BA = 2BC = 10, но чёт не сходится, так как по теореме пифагора BA = 13

может тут авторы хотели, чтобы ты отталкивался (лась) от табличных значений уголов? тогда как раз при BA=2BC = 10 все значения таблиц и и отношений сходятся -_- а, пошутил, тут катет больше гипотенузы, так что смэрть

вообще желаю здоровье, тем кто составлял этот номер, решу для обеих ситуаций + если идти тупо через таблицу тригонометрических значений (думаю, то, что и подразумевали авторы)

-если BA = 10:

sinA = BC/BA = 5/10 = 1/2 (что сходится с таблицей тригонометрических функций, ведь sin30 = 1/2)

cosA = AC/BA = 12/10, что невозможно, ибо гипотенуза меньше катета и косинус больше единицы быть не может

tgA = BC/CA = 5/12

sinB = 12/10 (бред, так как больше единицы)

cosB = 5/10 = 1/2

tgB = 12/5 = 2,4

-если BA=13 (по канонам здравого смысла):

sinA = 5/13

cosA = 12/13

tgA = 5/12

sinB = 12/13

cosB = 5/13

tgB = 12/5 = 2,4

-если вычислять используя только таблицу значений для углов в 30 и 60 градусов, но ведь тебе нужно найти AB, но она равна  либо 10, либо 13, так что здесь соболезную, пиши на свой страх и риск одно из этих чисел:

sin30 = 1/2

cos30 = √3/2

tg30 = √3/3

угол B = 180 - 90 -30 = 60 градусов

sin60 = √3/2

cos60 = 1/2

tg60 = √3

такие дела, удачи