№1. В правильной призме ABCDA1B1C1D1 диагональ A1C равна 9√3 см. AB= A1A. Найдите площадь полной поверхности призмы.
№2. Дана пирамида SABC. AB=CA=10 см, CB=12см и SA= 7см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если SA перпендикулярно ABC.
№3. В правильном тетраэдре высота равна 4 см. Найдите ребро тетраэдра.

По т.Пифагора найдём гипотенузу. 

АС=√(BC²+AC²)=√(256+144)=20 см

Высоту BO проще всего найти из площади треугольника. 

S=BC•AB/2

S=BO•AC/2 Следовательно, 

BC•AB=BO•AC, откуда 

BO=BC•AB:AC

BO=16•12:20=9,6 см

-----

Вариант решения ( несколько длиннее) - его алгоритм  дан ниже. 

1) Находим гипотенузу по т.Пифагора 

2) Катет прямоугольного треугольника  – среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на неё. ⇒

АВ²=АС•АО, ⇒ АО=АВ²:АС  Отрезок СО находим вычитанием АО из гипотенузы или тем же что АО. 

3) Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. ⇒

ВО²=СО•АО. Вычисления дадут  ту же длину ВО=9,6 см

ответ:100 см²

Объяснение: В четырехугольник можно вписать окружность ( или круг) тогда и только тогда. когда суммы противоположных сторон равны.

Трапеция АВСD - четырехугольник. ⇒

             ВС+АD=АВ+AD=14+11=25 (см).

Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности. ⇒        ВН=2r=2•4=8  

     Площадь трапеции равна произведению высоты и полусуммы оснований.

          S=h•(a+b)/2=8•25/2=100 см².

----------------------

Как видим, для нахождения площади отношение оснований трапеции является лишним. Но для нахождения длин сторон пригодится.

Примем коэффициент отношения ВС:АD равным а.

Тогда ВС=2а, АD=3а.

ВС+АD=5a=25 (см. выше). ⇒ а=5. ⇒

ВС=2•5=10 см

АD=3•5=15 см.