1) в правильной треугольной призме abca1b1c1 угол a1ca=30, a1c=4. найдите тангенс угла между плоскостями a1bc и abc. 2) используя условие 1, найдите площадь треугольника a1bc. 3) в основании прямой призмы abca1b1c1 - треугольник abc, у которого угол с=90, ab=2, угол bac= 30, угол b1ab=45. найдите площадь треугольника a1cb. 4) в основании прямой призмы лежит ромб со стороной 6 см и углом 60. меньшая диагональ призмы наклонена к основанию под углом 45. найдите длину большей диагонали. заранее. хорошо было бы с решением)

1. Определение: "Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения".

Опустим на сторону ВС перпендикуляры АН и А1Н. Точка Н (основания перпендикуляров) общая, так как треугольник АВС правильный, а треугольник А1ВС - равнобедренный с основанием ВС. Угол между плоскостями АВС и А1ВС это угол А1НА, где АН⊥ВС и А1Н⊥ВС. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета АА1 к прилежащему АН.  АА1 = А1С:2 = 4:2 = 2 (как катет, лежащий против угла 30°).  АС=√(А1С²-АА1²). АС=√(16-4)=2√3. АН - это высота основания (правильного треугольника) АВС.  АН = (√3/2)*а, где "а" - сторона треугольника. АН =  (√3/2)*2√3=3.

Tg(A1HA) = 2/3.

2. Площадь треугольника А1ВС равна S = (1/2)*BC*A1H. ВС=2√3 (сторона треугольника АВС найдена в п.1). А1Н=√(АН²+АА1²). А1Н=√(3²+2²)=√13.

Тогда S=(1/2)*2√3*√13 = √39 ед².

3. В прямоугольном треугольнике АВС катет ВС лежит против угла 30° (дано) и равен ВС:2 = 2:2=1. Катет АС=√3. АА1В1В  - квадрат, так как призма прямая, а  <B1AB=45° (дано). Значит ВВ1=АВ=2.

В треугольнике АА1С: катет АА1=ВВ1=2, АС=√3. Тогда по Пифагору А1С=√(4+3)=√7. Треугольник А1СВ прямоугольный, так как А1С перпендикулярна ВС по теореме о трех перпендикулярах.

Площадь треугольника А1СВ равна S=(1/2)*A1C*BC = √7/2 ед².

4. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов. Следовательно, треугольник АВD равносторонний и BD=6см. АО=3√3см (высота правильного треугольника).  АС=2*АО = 6√3см. Треугольник BB1D прямоугольный равнобедренный, так как призма прямая, а <DBD1 = 45° (дано). DD1=BD=6см. АА1=DD1 (боковые ребра призмы). Тогда из прямоугольного треугольника АА1С найдем А1С по Пифагору: А1С=√(АС²+АА1²) или

А1С=√(108+36) = 12 см.