1.В пространстве дана плоскость a и точка A, которая принадлежит плоскости a. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные. А. Любая прямая, которая проходит через точку A, обязательно пересекает плоскость a.
Б. Через точку A можно провести бесконечное множество плоскостей, отличных от плоскости a.
В. Любая прямая, которая проходит через точку A, обязательно лежит в плоскости a.
Г. Существуют прямые, которые проходят через точку A и не лежат в плоскости a.
2.В пространстве дана произвольная прямая a и точка A. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.
А. Если через прямую a и точку A можно провести только одну плоскость, то прямая a проходит через точку A.
Б. Через прямую a и точку A всегда можно провести плоскость.
В. Если плоскость проходит через прямую a, то она обязательно содержит точку A.
Г. Если через прямую a и точку A можно провести две разных плоскости, то точка A лежит на прямой a.
3.Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.
А. Три точки из данных четырёх точек могут лежать на одной прямой.
Б. Можно провести только три разные плоскости, каждая из которых проходит через три из четырех данных точек.
В. Продолжения сторон AB и CD пространственного четырехугольника ABCD пересекаются.
Г. Прямые AC и BD могут пересекаться
4.В кубе ABCDA1B1C1D1 построено сечение плоскостью, которая проходит через точки A, C, K, где точка K принадлежит ребру C1D1, причем KD1 = 2KC1. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.
А. Секущая плоскость, плоскости ADD1 и CDD1 проходят через одну точку.
Б. Секущая плоскость имеет с плоскостью A1BC только одну общую точку C.
В. Секущая плоскость пересекает прямую DD1 в точке, которая принадлежит прямым CK и DD1.
Г. Сечением является равнобокая трапеция, основания которой относятся как 1:2.
5.Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости; точки K, L, M, N — середины отрезков AD, DC, BC, AB соответственно. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.
А. Если KN = KL = LN, то LMN = 60°.
Б. Прямая, проходящая через середины отрезков AC и BD, может быть параллельна прямой KL.
В. Длины отрезков KM и NL обязательно равны.
Г. Если AC = BD = 2LN, то KLM = 60°

1. Прямая пересекает две стороны треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника?

Да.

По аксиоме: если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в плоскости.

2. Прямая пересекает вершину треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника?

Необязательно.

У прямой и плоскости только одна общая точка, значит прямая может лежать в плоскости, а может ее пересекать.

3. Три вершины параллелограмма лежат в плоскости. Принадлежит ли четвертая вершина параллелограмма этой плоскости?

Да.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Значит плоскость параллелограмма совпадает с данной.

4. Хорда окружности принадлежит плоскости. Верно ли утверждение, что и вся окружность лежит в этой плоскости?

Нет.

Плоскость окружности может пересекать данную плоскость по хорде.

5. Две пересекающиеся хорды окружности принадлежат плоскости. Верно ли утверждение, что любая точка окружности принадлежит этой плоскости?

Да.

Через любые две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Значит плоскость, в которой лежит окружность, и данная плоскость совпадают.

6. Сколько плоскостей можно провести через: три различные точки;

если точки не лежат на одной прямой - одну;если точки лежат на одной прямой - бесконечно много;

две различные точки;

бесконечно много;

через прямую и не лежащую на ней точку;

одну;

через две параллельные прямые?

одну.

7. Верно ли утверждение: любые три точки принадлежат плоскости;

верно;

через любые три точки проходит единственная плоскость?

неверно, надо уточнить: не лежащие на одной прямой.

8. Известно, что прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она любой прямой, лежащей в этой плоскости?

нет, прямая в плоскости и данная прямая могут быть скрещивающимися (см. рисунок);

Может ли данная прямая пересечь какую-либо прямую, лежащую в плоскости?

нет, так как она не имеет с плоскостью общих точек.

9. Средняя линия трапеции лежит в плоскости а. Пересекают ли основания трапеции эту плоскость?

Нет, они параллельны плоскости.

Основания и средняя линия параллельны, а если прямая параллельна  прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна плоскости.

10. а) Прямая а параллельна линии пересечения плоскостей α и β. Каково взаимное расположение а и α; а и β ?

а║α или а лежит в α; а║β или а лежит в β (на рисунке возможные расположения прямой а).

10. б) Прямая b не параллельна линии пересечения плоскостей α и β Каково взаимное расположение b и α; b и β?

Прямая b может лежать в одной из плоскостей и пересекать другую или b может пересекать обе плоскости (см. рисунок).

11. Сколько можно провести через данную точку: прямых, параллельных данной плоскости; плоскостей, параллельных данной прямой?

бесконечно много;

12. Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают некоторую плоскость. Докажите, что прямые AD и DC пересекают эту плоскость.

Противоположные стороны параллелограмма параллельны, а если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая пересекает эту плоскость.

13. Плоскость α параллельна одной из двух параллельных прямых. Каково взаимное расположение второй прямой и плоскости α?

Вторая прямая может лежать в плоскости, а может быть ей параллельна.

14. Сторона АВ параллелограмма ABCD лежит в плоскости α. Докажите, что сторона CD параллельна этой плоскости.

CD║AB как противоположные стороны параллелограмма, АВ лежит в плоскости, значит CD параллельна плоскости (признак параллельности прямой и плоскости)

15. Прямая пересекает плоскость. Можно ли в плоскости провести прямую, параллельную данной прямой?

Нет, параллельные прямые должны лежать в одной плоскости.

16. Две прямые параллельны одной плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны?

Нет, они могут быть скрещивающимися или пересекающимися

на рисунке для плоскости (АВС) КН и D₁C₁ скрещивающиеся, А₁С₁ и А₁В₁ пересекающиеся.

17. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, из которых одна параллельна некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость?

Эти прямые могут быть скрещивающимися или пересекающимися.

На рисунке для плоскости (АВС) А₁В₁ и СС₁ скрещивающиеся, а А₁В₁ и ВВ₁ пересекающиеся.

19. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b быть параллельными? Пересекаться?

Да.

На рисунке АА║ВВ₁, они скрещиваются с прямой DC; а прямые АА₁ и КН пересекаются, но тоже скрещиваются с прямой DC.

20. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой?

Нет, если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой, а данные прямые скрещивающиеся.

21. Прямая, не лежащая в плоскости параллелограмма, параллельна одной из его диагоналей. Каково взаимное расположение данной прямой и второй диагонали?

Скрещивающиеся.

На рисунке А₁С₁║АС, но А₁С₁ и BD скрещивающиеся.

22. Как могут быть расположены прямая и плоскость, если данная прямая и некоторая прямая, лежащая в этой плоскости, скрещиваются?

Прямая может быть параллельна плоскости, а может ее пересекать.

На рисунке для плоскости (АВС) А₁С₁ и BD скрещивающиеся, А₁С₁║(АВС); АА₁ и BD скрещивающиеся, АА₁∩(АВС).

ответ: третья задача мутная. ответом может быть и только скрещиваются, если выбирать только из а) скрещиваются и б) пересекаются. Учтите это

Объяснение:

1)Какое из следующих утверждений неверно?

Выберите один ответ:

a. если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны  - верно

b. Если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости  - неверно, для этого прямые на плоскости должны пересекаться

c. если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны  - верно

d. если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает- верно

2)Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если через прямую а можно провести плоскость, параллельную прямой b?

Выберите один ответ:

a. скрещиваются или параллельны  

3)Прямые а и b лежат в параллельных плоскостях, следовательно эти прямые а) скрещиваются или б) пересекаются

Выберите один ответ:

b. скрещиваются или параллельны   пересечься они не могут

4)Каким может быть взаимное расположение двух прямых, если обе они параллельны одной плоскости?

Выберите один ответ:

b. все случаи взаимного расположения

5)Прямая а перпендикулярна к прямым с и b, лежащим в плоскости α, прямая а перпендикулярна к плоскости α. Выясните взаимное расположение прямых с и b

Выберите один ответ:

b. параллельны или пересекаются