1.В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8 см, ВС = 6 см, АС = 12 см. Точки А1, В1, С1 – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС, АС и ВА. АА1 ВВ1 = О. Найдите отношение отрезков ОС1 к ОС.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости:

если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

1.

а) В₁С₁⊥ВВ₁ и В₁С₁⊥А₁В₁ как соседние стороны квадратов, значит

В₁С₁⊥(АВВ₁).

б) ВВ₁⊥(АВС), прямая АС лежит в плоскости (АВС), значит

ВВ₁⊥АС,

АС⊥BD по свойству диагоналей квадрата, значит

АС⊥(BDD₁).

2.

Если

Прямая проведена перпендикулярно катетам прямоугольного треугольника,

то она перпендикулярна плоскости треугольника (катеты лежат на двух пересекающихся прямых плоскости треугольника).

Если

Прямая проведена перпендикулярно двум радиусам, которые не образуют диаметр окружности,

то она перпендикулярна плоскости окружности (радиусы лежат на двух пересекающихся прямых плоскости окружности).

Если

Прямая проведена перпендикулярно боковым сторонам трапеции,

то она перпендикулярна плоскости трапеции (боковые стороны не параллельны, значит прямые, на которых они лежат, пересекаются).

Сторона квадрата равна а. В данный квадрат вписан квадрат таким образом, что его вершины делят сторону данного квадрата в отношении 5:6. Найди площадь вписанного квадрата.

Объяснение:

Тк каждая сторона бОльшего квадрата разделена в отношении 5:6 , то все прямоугольные треугольники равны по 3-м катетам. И значит их площади равны.

S(вписанного квадрата )= S(большего квадрата )-4*S( белых треуг.).

Всего частей на сторону большего квадрата приходится 5+6=11 , поэтому меньший катет равен 5/11*а , больший катет равен 6/11*а.

Тогда площадь каждого белого треугольника

S=1/2* 5/11*а * 6/11*а=(15/121)*a² (ед²).

S(вписанного ЧЕРНОГО кв. )=а²- 4*(15/121)*а²=а²(1-60/121)=61/121*а².

orjabinina