1 вериант, контрольная работа​

Дано :

параллелограмм NPKA

<ANK = 45°

<KNP = 65°

Найти:

<А, <К, <Р, <N, <NKA, <NKP = ?

<N = <ANK + <KNP = 45° + 65° = 110°

<N = <K = 110° (св-во параллелограмма - противоположные углы равны)

<А = 180° - <К = 180° - 110° = 70° (свойство параллелограмма - углы, прилежащие к любой стороне, в сумме равны 180°)

<Р = <А = 70° (св-во параллелограмма - противоположные углы равны)

<NKA = <KNP = 65° (н.л. при NP//AK и секущей NK)

<NKP = <K - <NKA = 110° - 65° = 45°

ответ: <А = <Р = 70° ; <К = <N = 110° ; <NKA = 65° ; <NKP = 45°

Рассмотрим треугольник АBD
Треугольник АВD - прямоугольный

угол АВD = 90° - 60° = 30° (теорема об острых углах прямоугольного треугольника)

АВ = 2 * АD = 2 * 3 = 6 (теорема о катете, лежащим против угла в 30°)

По теореме Пифагора:
ВD^2 = АВ^2 - АD^2 = 36 - 9 = 27
BD = корень из 27

Рассмотрим треугольник DBC
Треугольник DBC - прямоугольный

угол DBC = 90° - 45° = 45° (теорема об острых углах прямоугольного треугольника)

угол DCB = 45° (по условию)

Из двух предыдущих следует, что треугольник DBC - равнобедренный => DC = BD = корень из 27

По теореме Пифагора:
ВС^2 = DB^2 + DC^2 = 27 + 27 = 54
BC = корень из 54