1. Верно ли, что углы треугольника могут быть равны:
а) 40°; 80°; 60°?
б) 43°; 68°; 70°?
2. Верно ли, что в равнобедренном треугольнике:
а) угол при основании может быть равен 100°?
б) угол при вершине может быть равен 100°?
3. Верно ли , что внешний угол треугольника может быть:
а) больше каждого из внутренних углов?
б) меньше каждого из внутренних углов?
4. Верно ли , что внешний угол треугольника может быть равен 180°?
5. Верно ли , что в равнобедренном треугольнике с углом при основании в 40° основание больше боковой стороны?
6. Верно ли , что катет больше гипотенузы?
7. Верно ли , что из проволоки, длиной 12 см, можно согнуть равнобедренный треугольник:
а) с боковой стороной 3 см?
б) с основанием 3 см?
Через вершину конуса с основанием радиуса R проведена плоскость, которая пересекает его основание по хорде, которую видно из центра основания под углом α, а из вершины – под углом β. Найти площадь сечения.
--------
Данное сечение конуса - равнобедренный треугольник. Пусть сторона этого треугольника равна а.
Тогда его площадь можно выразить S=a²•sinβ/2.
1) Примем длину хорды равной х. Тогда из треугольника в основании, образованного хордой и двумя радиусами, квадрат её длины можно выразить по т.косинусов.
х²=2R²-2R²•cosα=2R²(1-cosα)
2) Выразим квадрат длины хорды по т.косинусов из треугольника в сечении:
х²=2а²-2а²•cosβ=2а²(1-cosβ)
3) Приравняем найденные значения х²
2R²(1-cosα)=2а²(1•cosβ)
Выразим а² из этого уравнения:
а²=R²(1-cosα):(1-cosβ)
Отсюда
S сечения=[R²(1-cosα):(1-cosβ)]•sinβ:2
равноудаленных от сторон угла.
т.е. точки, лежащие на отрезке АЕ (любая из этих точек) находятся на одинаковом расстоянии от сторон угла DAB (AE -биссектриса угла DAB),
аналогично, точки, лежащие на отрезке DЕ (любая из этих точек) находятся на одинаковом расстоянии от сторон угла CDA (DE -биссектриса угла CDA), т.е. точка Е одинаково удалена от AB, AD, CD
эти расстояния от точки Е и есть высоты соответствующих треугольников... например, S(ABE) = BE*AB/2
высоты равны, стороны равны (по условию), ---> и площади равны!