1) вне параллелограмма BCDE выбрали произвольную точку L так, что точки L и B лежат по разные стороны от прямой C. докажите что разность площадей треугольников BLE и CLD равна половине площади параллелограмма
2) четырёхугольник KLMN со сторонами KL=6 и MN=12 вписан в окружность. диагонали KM и MN пересекаются в точке A, причём cos угла A=0,8. найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника
1) Для доказательства данного утверждения воспользуемся площадью параллелограмма. Площадь параллелограмма BCDE равна произведению длин его сторон на синус угла между ними: S_параллелограмма = BD * BC * sin(angle BCD).
Возьмем треугольники BLE и CLD. Площадь треугольника BLE можно выразить как половину произведения длины высоты, опущенной на сторону BL, на длину стороны BL: S_BLE = 0.5 * h_BL * BL. Аналогично, площадь треугольника CLD можно выразить как половину произведения длины высоты, опущенной на сторону CL, на длину стороны CL: S_CLD = 0.5 * h_CL * CL.
Опускаем перпендикуляры из точки L на стороны BL и CL, обозначим их длины как h_BL и h_CL соответственно. Заметим, что треугольники BLC и BLD подобны, так как углы при вершинах B одинаковые. Поэтому отношение соответственных сторон равно: BL/CL = h_BL/h_CL.
Теперь докажем равенство площадей треугольников BLE и CLD. Из выражений для площадей получаем: S_BLE/S_CLD = (0.5 * h_BL * BL) / (0.5 * h_CL * CL) = (h_BL * BL) / (h_CL * CL).
Из подобия треугольников BLC и BLD имеем BL/CL = h_BL/h_CL, что можно переписать как h_BL = (BL/CL) * h_CL. Подставим это выражение в равенство площадей: S_BLE/S_CLD = [(BL/CL) * h_CL * BL] / (h_CL * CL).
Здесь h_CL и h_CL сокращаются, получаем: S_BLE/S_CLD = BL^2 / CL^2.
Таким образом, площади треугольников BLE и CLD относятся как квадраты их соответствующих сторон.
Заметим также, что отношение сторон в прямоугольнике BCDE равно CL/BL = S_CLD/S_BLE (так как площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон). Используя это соотношение, получаем: S_BLE/S_CLD = 1 / (CL/BL) = BL/CL.
Теперь подставим это выражение для отношения площадей треугольников в выражение для площади прямоугольника: BL/CL = S_CLD/S_BLE. Умножим обе части на S_BLE и получим: BL = S_CLD * (S_BLE/S_CLD).
Таким образом, мы получили выражение для длины стороны BL через площади треугольников. Аналогично, можно получить выражение для длины стороны CL: CL = S_BLE * (S_CLD/S_BLE).
Теперь выражение для площади прямоугольника BCDE можно записать через длины его сторон: S_параллелограмма = BD * BC * sin(angle BCD) = (BL + CL) * BC * sin(angle BCD).
Подставим выражения для длин сторон BL и CL: S_параллелограмма = (S_CLD * (S_BLE/S_CLD) + S_BLE * (S_CLD/S_BLE)) * BC * sin(angle BCD).
Теперь проведем преобразования с выражением для площади параллелограмма: S_параллелограмма = (S_CLD/S_CLD * S_BLE + S_BLE/S_BLE * S_CLD) * BC * sin(angle BCD) = (S_CLD/S_CLD + S_BLE/S_BLE) * S_BLE * BC * sin(angle BCD).
Заметим, что S_CLD/S_CLD + S_BLE/S_BLE = 1 + 1 = 2, поэтому получаем: S_параллелограмма = 2 * S_BLE * BC * sin(angle BCD).
Итак, мы получили выражение для площади параллелограмма через площадь треугольников BLE и CLD: S_параллелограмма = 2 * S_BLE * BC * sin(angle BCD).
Таким образом, разность площадей треугольников BLE и CLD равна половине площади параллелограмма: S_BLE - S_CLD = (1/2) * S_параллелограмма.
2) Заметим, что в четырехугольнике KLMN KM и MN являются диагоналями, пересекающимися в точке A. Также, по условию дано, что cos угла A равен 0,8.
Так как четырехугольник KLMN вписан в окружность, диагонали KI и MJ являются диаметрами этой окружности. Поэтому, угол KAN является прямым.
Треугольник KAN является прямоугольным, и мы знаем, что cos угла A равен отношению катета AN к гипотенузе KN: cos(A) = AN/KN.
Из задачи известно, что cos(A) = 0,8. Подставляя это значение в выражение, получаем: 0,8 = AN/KN.
Из этого равенства можно выразить длину AN через KN: AN = 0,8 * KN.
Заметим также, что диагонали KM и MJ делятся точкой N пополам. Поэтому, длина KN равна половине стороны MN: KN = MN/2 = 12/2 = 6.
Подставим это значение в предыдущее равенство: AN = 0,8 * KN = 0,8 * 6 = 4,8.
Теперь рассмотрим треугольник ANM. Из его определения следует, что сторона MN (длина 12) равна сумме стороны AN и стороны AM, так как это диагонали четырехугольника KLMN: MN = AN + AM.
Подставим известные значения: 12 = 4,8 + AM.
Выразим AM: AM = 12 - 4,8 = 7,2.
Теперь рассмотрим треугольник AMK, в котором нам известны стороны AM (длина 7,2) и MK (длина 6).
Мы можем использовать теорему косинусов для нахождения радиуса окружности, описанной вокруг четырехугольника KLMN. Теорема косинусов утверждает, что в треугольнике cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2*b*c), где A – угол противолежащий стороне а, b и c – стороны треугольника.
В нашем случае, cos(A) = 0,8 и a = AM, b = MK, c – радиус окружности (или половина диагонали KI).
Подставим известные значения и решим уравнение относительно радиуса:
0,8 = (MK^2 + (радиус)^2 - AM^2) / (2 * MK * радиус).
Возьмем треугольники BLE и CLD. Площадь треугольника BLE можно выразить как половину произведения длины высоты, опущенной на сторону BL, на длину стороны BL: S_BLE = 0.5 * h_BL * BL. Аналогично, площадь треугольника CLD можно выразить как половину произведения длины высоты, опущенной на сторону CL, на длину стороны CL: S_CLD = 0.5 * h_CL * CL.
Опускаем перпендикуляры из точки L на стороны BL и CL, обозначим их длины как h_BL и h_CL соответственно. Заметим, что треугольники BLC и BLD подобны, так как углы при вершинах B одинаковые. Поэтому отношение соответственных сторон равно: BL/CL = h_BL/h_CL.
Теперь докажем равенство площадей треугольников BLE и CLD. Из выражений для площадей получаем: S_BLE/S_CLD = (0.5 * h_BL * BL) / (0.5 * h_CL * CL) = (h_BL * BL) / (h_CL * CL).
Из подобия треугольников BLC и BLD имеем BL/CL = h_BL/h_CL, что можно переписать как h_BL = (BL/CL) * h_CL. Подставим это выражение в равенство площадей: S_BLE/S_CLD = [(BL/CL) * h_CL * BL] / (h_CL * CL).
Здесь h_CL и h_CL сокращаются, получаем: S_BLE/S_CLD = BL^2 / CL^2.
Таким образом, площади треугольников BLE и CLD относятся как квадраты их соответствующих сторон.
Заметим также, что отношение сторон в прямоугольнике BCDE равно CL/BL = S_CLD/S_BLE (так как площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон). Используя это соотношение, получаем: S_BLE/S_CLD = 1 / (CL/BL) = BL/CL.
Теперь подставим это выражение для отношения площадей треугольников в выражение для площади прямоугольника: BL/CL = S_CLD/S_BLE. Умножим обе части на S_BLE и получим: BL = S_CLD * (S_BLE/S_CLD).
Таким образом, мы получили выражение для длины стороны BL через площади треугольников. Аналогично, можно получить выражение для длины стороны CL: CL = S_BLE * (S_CLD/S_BLE).
Теперь выражение для площади прямоугольника BCDE можно записать через длины его сторон: S_параллелограмма = BD * BC * sin(angle BCD) = (BL + CL) * BC * sin(angle BCD).
Подставим выражения для длин сторон BL и CL: S_параллелограмма = (S_CLD * (S_BLE/S_CLD) + S_BLE * (S_CLD/S_BLE)) * BC * sin(angle BCD).
Теперь проведем преобразования с выражением для площади параллелограмма: S_параллелограмма = (S_CLD/S_CLD * S_BLE + S_BLE/S_BLE * S_CLD) * BC * sin(angle BCD) = (S_CLD/S_CLD + S_BLE/S_BLE) * S_BLE * BC * sin(angle BCD).
Заметим, что S_CLD/S_CLD + S_BLE/S_BLE = 1 + 1 = 2, поэтому получаем: S_параллелограмма = 2 * S_BLE * BC * sin(angle BCD).
Итак, мы получили выражение для площади параллелограмма через площадь треугольников BLE и CLD: S_параллелограмма = 2 * S_BLE * BC * sin(angle BCD).
Таким образом, разность площадей треугольников BLE и CLD равна половине площади параллелограмма: S_BLE - S_CLD = (1/2) * S_параллелограмма.
2) Заметим, что в четырехугольнике KLMN KM и MN являются диагоналями, пересекающимися в точке A. Также, по условию дано, что cos угла A равен 0,8.
Так как четырехугольник KLMN вписан в окружность, диагонали KI и MJ являются диаметрами этой окружности. Поэтому, угол KAN является прямым.
Треугольник KAN является прямоугольным, и мы знаем, что cos угла A равен отношению катета AN к гипотенузе KN: cos(A) = AN/KN.
Из задачи известно, что cos(A) = 0,8. Подставляя это значение в выражение, получаем: 0,8 = AN/KN.
Из этого равенства можно выразить длину AN через KN: AN = 0,8 * KN.
Заметим также, что диагонали KM и MJ делятся точкой N пополам. Поэтому, длина KN равна половине стороны MN: KN = MN/2 = 12/2 = 6.
Подставим это значение в предыдущее равенство: AN = 0,8 * KN = 0,8 * 6 = 4,8.
Теперь рассмотрим треугольник ANM. Из его определения следует, что сторона MN (длина 12) равна сумме стороны AN и стороны AM, так как это диагонали четырехугольника KLMN: MN = AN + AM.
Подставим известные значения: 12 = 4,8 + AM.
Выразим AM: AM = 12 - 4,8 = 7,2.
Теперь рассмотрим треугольник AMK, в котором нам известны стороны AM (длина 7,2) и MK (длина 6).
Мы можем использовать теорему косинусов для нахождения радиуса окружности, описанной вокруг четырехугольника KLMN. Теорема косинусов утверждает, что в треугольнике cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2*b*c), где A – угол противолежащий стороне а, b и c – стороны треугольника.
В нашем случае, cos(A) = 0,8 и a = AM, b = MK, c – радиус окружности (или половина диагонали KI).
Подставим известные значения и решим уравнение относительно радиуса:
0,8 = (MK^2 + (радиус)^2 - AM^2) / (2 * MK * радиус).
Упростим числитель и знаменатель:
0,8 = (6^2 + (радиус)^2 - 7,2^2) / (2 * 6 * радиус).
Выполним вычисления в числителе:
0,8 = (36 + (радиус)^2 - 51,84) / (12 * радиус).
Далее, сократим 2 и переместим радиус в знаменатель:
0,4 = (радиус^2 - 15,84) / (6 * радиус).
Умножим обе части уравнения на 6 * радиус:
0,4 * 6 * радиус = радиус^2 - 15,84.
Упростим левую часть и перенесем все в левую часть уравнения:
2,4 * радиус = радиус^2 - 15,84.
Получаем квадратное уравнение относительно радиуса:
радиус^2 - 2,4 * радиус - 15,84 = 0.
Решим это квадратное уравнение:
D = (-2,4)^2 - 4 * 1 * (-15,84) = 5,76 + 63,36 = 69,12.
Так как дискриминант положительный, имеем два действительных корня:
радиус = (-(-2,4) ± √69,12) / (2 * 1).
Выполним вычисления:
радиус = (2,4 ± √69,12) / 2 = 1,2 ± √(69,12/4) = 1,2 ± √17,28.
Таким образом, радиус окружности, описанной около четырехугольника KLMN, можно представить в виде двух значений: 1,2 + √17,28 и 1.2 - √17,28.