1.Выберите верное утверждение:
а) Если плоскость пересекает одну из параллельных прямых, то она не пересекает другую;
б) Противоположные ребра тетраэдра лежат на параллельных прямых;
в) Наклонная всегда меньше перпендикуляра, если они проведены из одной точки.
г) Все грани правильной треугольной призмы-правильные треугольники.
д) Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
2.Плоскость, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает его в точках А1 и В1л ежащих на сторонах АС и ВС соответственно. Найдите АА1, если А1С=5 см, А1В1=7 см, АВ=21 см.
3.Площадь сечения правильной треугольной призмы, проведенного через боковое ребро и середину противолежащей стороны нижнего основания, равна 2. Найдите длину ребра этой призмы при условии, что все ее ребра равны.
4.Расстояние от некоторой точки до плоскости квадрата равно 3 см. Сторона квадрата равна 4 см. Найдите расстояние от этой точки до всех его вершин, если вершины равноудалены от нее.
Пусть вектор а = вектор ВС, вектор b=вектор АС и вектор с=векторАВ.
Найдем координаты векторов. Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала.
Тогда вектор а(Хс-Хb;Yc-Yb)=a(0-14;14-12)=a(-14;2).
Вектор b(Хс-Хa;Yc-Ya)=b(0-(-2);14-0)=b(2;14).
Вектор c (Хb-Хa;Yb-Ya)=с(14-(-2);12-0)=с(16;12).
Найдем длины сторон треугольника (модули векторов а, b и с).
Модуль или длина вектора: |a|=√(Хa²+Ya²).
Тогда |a|=√(Хa²+Ya²)=√(196+4)=10√2.
|b|=√(Хb²+Yb²)=√(4+196)=10√2.
|c|=√(Хc²+Yc²)=√(286+144)=20.
Формула радиуса описанной окружности:
R=a*b*c/4S, где a,b,c -стороны треугольника, р - его полупериметр.
В нашем случае полупериметр равен 10+10√2.
Тогда по формуле Герона:
S=√[(10+10√2)*10*10*[(10√2)²-10²)] или
S=100.
R=a*b*c/4S=(10√2*10√2*20)/(4*100)=10.
Площадь круга равна Sк=πR².
В нашем случае Sк=π*100.
ответ: S=100π.