Центр вписанной окружности в правильном треугольнике является также точкой пересечения высот. При этом высоты совпадают с медианами, а значит, делятся центром вписанной окружности в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, BO=2/3BH (см. рисунок, здесь BH - высота). Так как ABH - прямоугольный треугольник, в котором катет AH равен 12/2=6, а гипотенуза AB равна 12, катет BH по теореме Пифагора равен √12²-6²=√108=6√3. Значит, BO=4√3. Так как BH перпендикулярно AC, а MN - отрезок прямой, проходящей через центр, параллельный AC, то MN также перпендикулярно BH. Значит, треугольник BMO прямоугольный, и острые углы в нём равны 30 и 60 градусам, то есть он подобен треугольнику ABH. Коэффициент подобия равен BH/BO=3/2. Тогда MO=AH*2/3, AH=6, так как H - середина AC. Тогда MO=4. Так как треугольник правильный, NO=MO, тогда искомый отрезок равен 8.
Если спроектировать 2 наклонные получаем пирамиду с высотой 3 см. Основание ABC, DC-высота. 2 боковые грани(ADC,BDC) пирамиды - прямоугольные треугольники, зная углы найдем стороны: sin60=√3/2=DC/BD, BD=3/(√3/2)=2*√3; BC=√((2√3)^2-3^2)=√3; sin30=1/2=DC/AD, AD=3/(1/2)=6; AC=√(6^2-3^2)=3√3; Далее нам уже известен угол 120 и 2 стороны основания AC=3√3, BC=√3, воспользуемся теоремой косинусов:теорема тригонометрии, утверждающая, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними; То есть AB=√((3√3)^2+(√3)^2-2*√3*3√3*(-0.5))= 39.
sin60=√3/2=DC/BD, BD=3/(√3/2)=2*√3; BC=√((2√3)^2-3^2)=√3;
sin30=1/2=DC/AD, AD=3/(1/2)=6; AC=√(6^2-3^2)=3√3;
Далее нам уже известен угол 120 и 2 стороны основания AC=3√3, BC=√3, воспользуемся теоремой косинусов:теорема тригонометрии, утверждающая, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними;
То есть AB=√((3√3)^2+(√3)^2-2*√3*3√3*(-0.5))= 39.