1.º Як називають паралелограм, у якого всі сторони рівні й один з кутів гострий?
а) квадрат; б) ромб;
в) трапеція; г) рівнобедрена трапеція.
2.º Один з кутів паралелограма дорівнює 92º. Знайдіть інші його
кути.
а) 92º, 78º, 78º; б) 92º, 88º, 88º;
в) 92º, 108º, 108º; г) 88º, 88º, 108º.
3.º Суміжні сторони паралелограма 7 см і 9 см. Обчисліть периметр
цього паралелограма.
а) 23 см; б) 63 см;
в) 16 см; г) 32 см.
4.º Кут між стороною і діагоналлю ромба дорівнює 25º. Знайдіть кути
ромба.
а) 25º, 65º, 65º, 63º; б) 25º, 25º, 155º, 155º;
в) 50º, 50º, 130º, 130º; г) 50º, 50º, 40º, 40º.
5.º Одна із сторін паралелограма дорівнює 7 см, а друга на 1,5 см
коротша. Обчисліть периметр паралелограма.
а) 12,5 см; б) 15,5 см; в) 25 см; г) 17 см.
6.● Бісектриса одного з кутів прямокутника ділить його сторону пополам. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його менша сторона
дорівнює 6 см.
7.● Бісектриса одного з кутів паралелограма ділить його сторону на
відрізки 35,5 см і 17,5 см. Обчисліть периметр паралелограма.
8.* З однієї точки кола проведено дві взаємно перпендикулярні хорди,
віддалені від центра на 6 см і 10 см. Знайдіть їхні довжини.
9.* У рівнобедрений трикутник ABC з основою 8 см вписано ромб, який
має спільний кут із кутом трикутника при вершині, а вершина,
протилежна куту ромба, лежить на основі трикутника. Знайдіть
периметр трикутника, якщо периметр ромба дорівнює 20 см.
ДО ТЬ БУДЬ-ЛАСКА
ДУЖЕ
которой является правильный многоугольник, а вершина пирамиды
проецируется в центр этого многоугольника. Высота боковой грани,
проведенная из вершины правильной пирамиды,
называется апофемой, боковые ребра равны, боковые грани равны
(все являются равнобедренными треугольниками)".
Следовательно, углы наклона боковых ребер к основанию равны -
это углы между ребром и высотой основания (правильного треугольника).
Углы углы наклона боковых граней равны - это углы между апофемой
и высотой основания.
Высота правильного треугольника по формуле равна h=(√3/2)*a.
Эта высота является и медианой, значит она делится точкой О
(центром основания) в отношении 2:1, считая от вершины.
ОС=(2/3)*h=(√3/3)*a.
OH=(1/3)*h=(√3/6)*a.
Тогда значение угла наклона боковых ребер к основанию найдем из прямоугольного треугольника AOS:
tgα=OS/OC = 2a/(√3*a/3)=2√3 ≈3,46.
α=arctg(3,46). α ≈73,9°
Значение угла наклона боковых граней к основанию найдем из прямоугольного треугольника НOS:
tgβ=OS/OH = 2a/(√3*a/6)=4√3 ≈6,93.
β=arctg(6,93). β ≈81,8°.
1
Таким же образом, используя формулу для площади треугольника, можно доказать и теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника.
Теорема (о биссектрисе внутреннего угла треугольника).Если AA1 ¾ биссектриса угла A треугольника ABC, то
BA1 : A1 C = BA : AC.
Доказательство. Пусть угол при вершине A в треугольнике ABC равен 2a. Рассмотрим треугольники BAA1 и CAA1 (см. рис.). Их площади относятся как отрезки BA1 и A1C, поскольку высота к этим сторонам в рассматриваемых треугольниках общая.
2
Свойства Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии. Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые (следует из их равенства). Признаки Два угла треугольника равны. Высота совпадает с медианой. Высота совпадает с биссектрисой. Биссектриса совпадает с медианой.Пусть a — длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b — длина третьей стороны, — соответствующие углы, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.