1.Яка з наведених точок належіть площині (xу)?
M ( - 19; 6; 2) ; K ( 0; 32; - 9); P ( 0; -17; 0); E ( - 5; 0; 89); В( 24; - 5; 0)
2. Яка з точок є серединою відрізка АВ, якщо
А ( 91; - 33; 11), В ( 19; - 15; 11) ?
варіанти відповідей
( 110; - 48; 22); (55; - 24; 11); (110; - 48; 11); ( 0; - 24; - 11); ( 55; 24; 0)
3. Яка з точок симетрична точці Е ( 11; 7; 16) відносно площини (yz)
варіанти відповідей
( - 11; 7; 16); ( - 11; - 7; - 16); ( 11; - 7; 16); ( 11; 7; - 16); інша відповідь
4. Знайдіть координати вектора АВ, якщо А ( 2; 7; - 3), В (- 2; 0; 1)
варіанти відповідей
( 1; - 12; - 1); ( - 4; - 7; 4): ( 4; 7; - 4); ( 1; 2; 1); ( 0; 7; - 2)
5.Які вектори ȃ ( 6; - 9; 3) і ñ (2; - 3; 3):
Перпендикулярні, рівні; колінеарні; мають рівні довжини; такі, що їх сума дорівнює вектору з координатами ( 8; - 12; 6)?
6. Які вектори ř ( - 5; 2; -1) і ĕ (0; - 4; √14):
Перпендикулярні; колінеарні; рівні; мають рівні довжини; такі, що їх сума дорівнює вектору з координатами ( 8; - 12; 6)?
7. Які вектори ũ ( 1; 2; - 1) і â ( 4; 8; - 4):
мають рівні довжини; колінеарні; перпендикулярні; рівні такі, що їх сума дорівнює вектору з координатами ( 8; - 12; 6)?
8. Які вектори ŵ ( 2; - 2; 2) і ȓ (5; 0; - 5):
Рівні; перпендикулярні; колінеарні; мають рівні довжини; такі, що їх сума дорівнює вектору з координатами ( 8; - 12; 6)?
9. При яких значеннях y вектори ȗ( 1; y; 4) і ñ (- 8; - 5; 1) перпендикуляпні?
10. Знайдіть на вісі Ох точку рівновіддалену від точок
А (2; 5; - 3) і В (4; 6; - 2)
Рассмотрим ∆ АВD и ∆ СВЕ
Оба прямоугольные и имеют общий острые угол АВС.
Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
Из подобия следует отношение
ВЕ:ВD=ВС:АВ⇒ВD•ВС=ВЕ•АВ ⇒
ВЕ:ВС=ВD:АВ
Две стороны ∆ ВЕD пропорциональны двум сторонам треугольника АВС, и угол между ними общий.
2-й признак подобия треугольников:
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Следовательно, ∆АВС и ∆ ВЕD подобны, что и требовалось доказать.
Можно добавить. что коэффициент подобия равен косинусу общего угла, т.к. отношение катетов ∆ СВЕ и ∆ АВД к их гипотенузам соответственно равны косинусу угла В треугольника АВС.
Плоскость этого сечения будет перпендикулярной к заданной плоскости сечения, так как диагональ АС перпендикулярна диагонали ВЕ.
В сечении получим 2 треугольника: BSE и KME.
Ребро BS как гипотенуза равно 6√2.
КМ - это линия наибольшего наклона плоскости.
Отрезок ВК на стороне ВЕ равен половине стороны шестиугольника как катет, лежащий против угла в 30 градусов.
Отношение ВК : ВЕ равно отношению SM : SE (3 / 12 = (3/√2) / (6√2), или 1/4 = 1/4.
Отсюда вывод: треугольники BSE и KME подобны. Отрезок КМ, как и BS, имеет наклон к плоскости основы под углом 45 градусов.
Сечение шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ АС под углом 45 ° представляет собой пятиугольник, состоящий из трапеции и треугольника.
У трапеции нижнее основание АС равно
AC = 2*6*cos30° = 2*6*(√3/2) = 6√3.
Верхнее основание трапеции определяется из условия пересечения заданной плоскости с рёбрами SD и DF.
В плоскости ВSE верх трапеции - точка Н.
Высоту трапеции КН найдём из треугольника КНF₁, образованного пересечением заданной плоскости и плоскости, проходящей чрез рёбра SD и DF.
В этом треугольнике известно основание КF₁ = 3 + 3 = 6 и угол НКF₁ = 45°. Поэтому он подобен треугольнику F₁BS по двум углам.
Сторона F₁B равна 6 + 3 = 9.
Коэффициент подобия равен 6/9 = 2/3.Тогда КН = (2/3)*BS = (2/3)*6√2 = 4√2. Высота точки Н равна 4√2*sin 45° = 4√2*(√2/2+ = 4.
Верхнее основание трапеции определяется из условия подобия треугольников SH₁H₂ и SDF по высотам от вершины S, равными 2 и 6.
H₁H₂ = DF*(2/6) = 6√3*(1/3) = 2√3.
Тогда S₁ = (1/2)*((6√3)+(2√3))*4√2 = 16√2.
У треугольника ВМЕ высота точки М равна 6*(9/12) = 4,5.
Отсюда высота треугольника H₁МH₂ равна (4,5 - 4)/sin 45° = (1/2)/(√2/2) = (1/2)√2.
Тогда S₂ = (1/2)*(2√3))*((1/2)√2) = (1/2)√6.
Площадь сечения равна:
S = S₁ + S₂ = (16√6) + (√6/2) = (33√6)/2 = 40.41658.