1.з деякої точки простору проведено до площини дві похилі, проекції яких дорівнюють 4√3 см і 9 см. знайдіть довжину більшої похилої, якщо менша похила утворює з площиною кут 60°. 2.знайдіть довжину діагоналі вd паралелограмаа авсd, якщо а(-1; -3; 0), в(-1; 1; 3), с(3; 1; 4). 3.точка м рівіновіддалена від усіх сторін прямокутного трикутника і знаходиться на відстані 4см від його площини. знайдіть відстань від точки м до сторін трикутника, якщо його гіпотенуза на 3см і 6см більша від катетів.
Пусть ребро АА₁ образует со сторонами основания АВ и AD угол в 60°.
Соединяем точку А₁ с точкой D.
В треугольнике АА₁D
AA₁=2 м
AD=1 м
∠A₁AD=60°
По теореме косинусов A₁D²=AA₁²+AD²-2·AA·₁AD·cos60°=4+1-2·2·1(1/2)=3
A₁D=√3 м
Треугольник A₁AD- прямоугольный
по теореме обратной теореме Пифагора:
АА₁²=AD²+A₁D² 2²=1+( √3 )²
A₁D⊥AD
В основании квадрат, стороны квадрата взаимно перпендикулярны
АС⊥AD
Отсюда AD⊥ плоскости A₁CD
ВС || AD
BC ⊥ плоскости A₁CD
ВС⊥A₁C
A₁C перпендикулярна двум пересекающимся прямым ВС и СD плоскости АВСD
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости А₁С перпендикуляр к плоскости АВСD
A₁C - высота призмы
A₁C=Н
Из прямоугольного треугольника
A₁DC:
А₁С²=А₁D²-DC²=(√3)²-1=3-1=2
A₁C=Н=√2 м
S(параллелепипеда)=S(осн)·Н=АВ²·Н=1·√2=√2 куб. м